Обзор некоторых вопросов и проблем моделирования временных рядов

Классификация кривых роста и методика их подбора, исходя из специфики экономических процессов, излагается в [5]. В [12,18] обсуждаются методы выбора вида кривой роста, основанные на анализе таких статистических показателей, как абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста.

В классе моделей временных рядов особое место занимают динамические модели, т.е. модели, которые в данный момент времени t учитывают значения входящих в них переменных как в текущий, так и в предыдущие моменты времени, а также само время t.

Выделяют два основных типа динамических эконометрических моделей:

1) модели с распределенным лагом;

2) модели авторегрессии.

Моделью с распределенным лагом называется модель, которая содержит в качестве объясняющих переменных текущие и лаговые (т.е. взятые с некоторым запаздыванием) значения лишь факторных переменных. Примером такой модели является модель

(6.3)

Авторегрессионной моделью называется модель, которая в качестве объясняющих переменных содержит как текущие и лаговые значения факторных переменных, так и лаговые значения зависимой переменной. Примером такой модели является модель

(6.4)

Если модель (6.4) применяется для описания зависимости потребления человека от его дохода, то она учитывает доход человека в данный момент и его потребление в предыдущий период. В отличие от (6.4), например, модель

,

описывая потребление человека, учитывает его доходы в период времени t и в предыдущий период , но не учитывает расходы на потребление в предыдущий период.

Динамические модели обладают определенной спецификой, которая проявляется в следующем.

1. Параметризация динамических моделей требует в большинстве случаев специальных статистических методов, так как обычный МНК не применим

ввиду нарушений условий Гаусса-Маркова.

2. Спецификация динамической модели является более сложной. Исследователю необходимо не только выбрать факторные переменные, но и определиться с «глубиной» их лагирования (т.е. необходимо решить, сколько предшествующих периодов следует учитывать в модели).

Указанная специфика динамических моделей требует особых методов

оценки параметров регрессии. Некоторые из таких методов (метод Койка, метод Алмон, метод инструментальных переменных) изложены в [2-4].

Весьма сложной является эконометрическая задача, учитывающая фактор «ожидания». Соответствующие динамические модели получили название моделей адаптивного ожидания. В них зависимая переменная cвязана не с текущим или предыдущим значением и объясняющей переменной х, а с ожидаемым значением ее в (t+ 1)-м периоде.

Модель имеет вид , где – ожидаемое значение ненаблюдаемой объясняющей переменной.

Модель, учитывающая фактор «ожидания», возникает, например, в случае, когда производитель принимает решение об объеме производимой в период t продукции y_t до того, как станет известной цена на эту продукцию в следующем периоде. Поскольку цена неизвестна в период , то решение принимается на основе ожидаемого значения .

Некоторые аспекты построения и анализа моделей адаптивного ожидания изложены в [2,4].

Если имеются данные о двух временных рядах и , то часто возникает вопрос: а есть ли зависимость между уровнями этих временных рядов (в частности, имеется ли линейная зависимость ). При ответе на этот вопрос обычные корреляционные подходы не работают, так как наличие тенденций в рядах и может привести к ложной корреляции и искажению показателей тесноты связи. Чтобы получить объективную картину нужно исключить тенденцию из каждого ряда. Это достигается различными методами. Наиболее распространены среди них метод отклонений от тренда, метод последовательных разностей и метод включения фактора времени. Описание этих методов можно найти в [2].

Один из подходов установления причинности зависимости между временными рядами связан с методом коинтеграции. Он основан на анализе графиков временных рядов и и их тенденций. Если на протяжении длинного промежутка времени имеет место устойчивая одинаковая (или противоположная) направленность тенденций, то естественно предположить, что коэффициент корреляции между уровнями рядов и характеризует не ложную, а истинную причинно-следственную связь.

Такое предположение было положено в основу теории коинтеграции временных рядов. Коинтеграция – это причинно-следственная зависимость в уровнях двух временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и случайной колеблемости.

Один из тестов на проверку коинтеграции временных рядов предложили Р. Ингл и К. Гренджер. За этот тест в 2003 году им была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Проверка нулевой гипотезы об отсутствии коинтеграции временных рядов и методом Ингла-Гренджера осуществляется по следующей схеме:

1) с помощью обычного МНК рассчитывается регрессия и вычисляются остатки ;

2) рассчитывается уравнение линейной регрессии , где – первые разности остатков;

3) определяется наблюдаемое значение t -статистики Стьюдента для коэффициента регрессии В; если t _набл для коэффициента В больше критического, то нулевая гипотеза об отсутствии коинтеграции отклоняется и принимается гипотеза о том, что между рядами и имеется коинтеграция.

Критические значения теста Ингла-Гренджера составляют 2,5899 (для уровня значимости 1%) и 1,9439 (для уровня значимости 5%).