2015-01-21
1820
Пример 7.1. Дана расширенная модель формирования спроса и предложения:
где 
– цена, 
– цена в предыдущий момент времени, 
– предложение товара, 
– спрос на товар, 
– доход.
Составить структурную и приведенную формы модели.
Решение:
Учитывая уравнение равновесия, перейдем от расширенной формы модели к модели:
где 
– количество товара (производимого и потребляемого).
В данной модели эндогенными переменными (т.е. определяемыми внутри модели) являются переменные и .
Предопределенными переменными являются экзогенная переменная и лаговая эндогенная переменная .
Поэтому структурная форма модели имеет вид:
Приведенная форма содержит два уравнения (по числу эндогенных переменных модели). Каждое уравнение приведенной формы представляет собой зависимость эндогенной переменной от предопределенных переменных модели (дохода и цены в предыдущий период). В результате имеем приведенную форму:
Пример 7.2. Идентифицировать каждое уравнение системы и саму систему в целом
Решение:
Для первого уравнения 
, 
. Так как 
, то ввиду необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) уравнение является неидентифицируемым.
Для второго уравнения 
, 
, т.е. выполняется неравенство 
.
Кроме того, ранг матрицы, составленной из коэффициентов первого и третьего уравнений при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих во втором уравнении, равен двум. Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) второе уравнение сверхидентифицируемо.
Для третьего уравнения , 
, т.е. выполняется равенство 
.
Кроме того, ранг матрицы, составленной из коэффициентов первого и второго уравнений при переменных (эндогенных и экзогенных), отсутствующих в третьем уравнении, равен двум. Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) третье уравнение идентифицируемо.
Так как первое уравнение в системе не идентифицируемо, то вся модель является неидентифицируемой.
Пример 7.3. Идентифицировать следующую структурную модель:
Исходя из приведенной формы модели
найти структурные коэффициенты.
Решение:
Модель имеет три эндогенные 
и три экзогенные 
переменные.
Проверим для каждого уравнения структурной модели выполнимость необходимого и достаточного условия идентификации, приведенного в таблице (7.1).
Первое уравнение содержит две эндогенные переменные 
и 
; в нем отсутствует одна экзогенная переменная 
. Значит, , и выполняется равенство .
Построим матрицу 
из коэффициентов при переменных 
и 
во втором и третьем уравнениях системы: 
. Так как 
, то ранг матрицы равен 2.
Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) первое уравнение идентифицируемо.
Второе уравнение содержит три эндогенные переменные , и ; в нем отсутствуют две экзогенные переменные 
и 
. Значит, , и выполняется равенство .
Построим матрицу из коэффициентов при переменных и в первом и третьем уравнениях системы: 
. Так как 
, то ранг матрицы равен 2.
Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) второе уравнение идентифицируемо.
Третье уравнение содержит две эндогенные переменные и ; в нем отсутствует одна экзогенная переменная . Значит, , и выполняется равенство .
Построим матрицу из коэффициентов при переменные 
и в первом и втором уравнениях системы: 
. Так как 
, то ранг матрицы равен 2.
Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) третье уравнение идентифицируемо.
Таким образом, исследуемая система идентифицируема. Поэтому для ее решения применим косвенный метод наименьших квадратов: структурные коэффициенты модели с помощью алгебраических преобразований выразим через приведенные коэффициенты.
1. Из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет в первом уравнении структурной формы):
Данное выражение содержит переменные 
, 
и 
, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели. Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели:
Получили первое уравнение структурной формы модели.
2. Во втором уравнении структурной формы модели нет переменных 
и . Параметры второго уравнения структурной формы определим в два этапа.
На первом этапе выразим из первого уравнения приведенной формы модели:
Кроме того, выразим 
из третьего уравнения приведенной формы модели:
Подставим значение в выражение для 
:
На втором этапе аналогично в выражение для 
подставим значение 
, полученное из первого уравнения приведенной формы модели:
Следовательно, 
.
Подставим теперь полученные значения и во второе уравнение приведенной формы модели:
Получили второе уравнение структурной формы модели.
3. Из второго уравнения приведенной формы модели выразим :
Подставим полученное выражение в третье уравнение приведенной формы модели:
Получили третье уравнение структурной формы модели.
Таким образом, структурная форма модели имеет вид:
Пример 7.4. Идентифицировать следующую структурную модель:
На основании статистических данных, представленных в таблице 7.2, с помощью двухшагового метода наименьших квадратов найти структурные коэффициенты модели.
Таблица 7.2. Статистические данные примера 7.4
| |  |  |  |
| 3,1 | 7,4 | 6,8 | 46,7 |
| 22,8 | 30,4 | 22,4 | 3,1 |
| 7,8 | 1,3 | 17,3 | 22,8 |
| 21,4 | 8,7 | 12,0 | 7,8 |
| 17,8 | 25,8 | 5,9 | 21,4 |
| 37,2 | 8,6 | 44,7 | 17,8 |
| 35,7 | 30,0 | 23,1 | 37,2 |
| 46,6 | 31,4 | 51,2 | 35,7 |
| 56,0 | 39,1 | 32,3 | 46,6 |
Решение:
Проверим уравнения структурной модели на идентифицируемость. Модель имеет две эндогенные и и две экзогенные и переменные.
Первое уравнение содержит две эндогенные переменные и ; в нем отсутствует одна экзогенная переменная . Значит, , и выполняется равенство .
Построим матрицу из коэффициентов при переменной во втором уравнении системы: 
. Так как 
, то ранг матрицы равен 1.
Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) первое уравнение системы идентифицируемо.
Второе уравнение содержит две эндогенные переменные и ; в нем отсутствует одна экзогенная переменная . Значит, , и выполняется равенство .
Построим матрицу из коэффициентов при переменной в первом уравнении системы: 
. Так как 
, то ранг матрицы равен 1.
Следовательно, на основании необходимого и достаточного условия (таблица 7.1) второе уравнение системы идентифицируемо.
Таким образом, исследуемая система является идентифицируемой.
Приведенная форма модели имеет вид:
Приведенные коэффициенты вычислим обычным МНК с помощью
инструмента «Регрессия» табличного процессора Excel (используя статистические данные таблицы 7.2):
На основе уравнения 
найдем теоретические значения для эндогенной переменной . Для этого подставим в уравнение значения переменных и . Аналогично на основе уравнения регрессии 
найдем теоретические оценки для эндогенной переменной . Результаты вычислений сведем в таблицу 7.3.
Таблица 7.3. Теоретические значения переменных и
| | |  |  |
| 6,8 | 46,7 | 17,2 | 19,6 |
| 22,4 | 3,1 | 21,8 | 15,5 |
| 17,3 | 22,8 | 21,3 | 17,9 |
| 12,0 | 7,8 | 14,0 | 13,7 |
| 5,9 | 21,4 | 11,6 | 14,7 |
| 44,7 | 17,8 | 43,2 | 24,0 |
| 23,1 | 37,2 | 28,9 | 22,1 |
| 51,2 | 35,7 | 52,0 | 29,1 |
| 32,3 | 46,6 | 38,4 | 26,2 |
Наконец, используя статистические данные таблицы 7.3, с помощью инструмента «Регрессия» обычным МНК вычислим структурные коэффициенты.
В результате структурная форма модели имеет вид:
