Конечные разности и их свойства

Конечная разность первого порядка функции f(x) при шаге h>0 определяется равенством

(6)

Разности высших порядков определяются индуктивно: разность (к+1) – порядка есть разность первого порядка от разности к-го порядка:

Например,

Методом индукции можно установить общую формулу.

, (7)

Значение разности полностью определяется значениями функции f(x) в точках x,x+h,…,x+nh.

Вычисление разностей производится по таблице значений функции. При этом конечную разность в точке x записывают между значениями функции в точках x и x+h. Получение разностей показано в таблице:

x	f(x)
x
x + h
x +2h
x +3h

Свойства конечных разностей:

1. Конечная разность от постоянной величины равна нулю.

2. Операция вычисления конечной разности является линейной, т.е. для , R:

Доказательство:

Cвойство верно для разностей любого порядка.

3. Конечной разностью от многочлена степени n является многочлен степени (n-1), т.е. при вычислении разности, степень многочлена понижается на единицу.

С учётом предыдущего свойства достаточно доказать это свойство для .

Имеем:

4. Конечная разность n -го порядка от многочлена n -ой степени постоянна, все разности более высокого порядка равны нулю.

Доказательство свойства следует из предыдущего.

5. Для многочлена справедлива формула:

Применяя последовательно формулу из доказательства свойства 3, получим

Следовательно, для многочлена получим

Поскольку по свойству 4:

Без доказательства сформулируем следующее свойство.

5. Если функция f(x) имеет непрерывную в точке x производную к -ого порядка, то

Следовательно, при малых справедливо приближенное равенство

Приведённая формула дает грубое приближение вследствие малого числа в знаменателе. Например, если вычисляется производная и погрешность вычисления значения функции равна , то возникающая из-за этого неустранимая погрешность равна . При h=0,1;0,01;0,001 получаются ошибки .