Турбулентное трение в случае установившегося плоского осреднённого движения

Рассмотрим элементарную площадку площадью , параллельную линии тока осреднённого движения (см. рис.). Через эту площадку проходят линии тока пульсационного движения смежных слоёв, расположенных как сверху, так и снизу от площадки, на некотором расстоянии , причём скоростного переноса служит поперечная к осреднённому потоку пульсационная скорость .

Касательное напряжение турбулентного трения для краткости обозначим и определим как среднюю во времени проекцию на ось отнесённого к единице площади секундного переноса количества осреднённого турбулентного движения через площадку .

Понимая под силу трения, приложенную от верхнего слоя к нижнему, будем считать количество движения, прошедшее из верхнего слоя в нижний, приобретённым, т.е. положительным, а количество движения, перенесённое из нижнего слоя в верхний, потерянным, т.е. отрицательным. Тогда обозначая чертой сверху среднюю по времени, найдём.

(1)

Здесь приближённо:

Тогда выражение (1) примет вид:

(2)

Если вспомнить одно из наиболее простых реологических уравнений, а именно уравнение текучести вязкой жидкости в простейшем случае прямолинейного, слоистого, ламинарного движения (закона Ньютона)

(3)

То, сравнивая (2) и (3), можно сделать вывод, что

(4)

Выражает коэффициент турбулентного перемешивания или, по аналогии с молекулярной вязкостью, динамический коэффициент турбулентной вязкости, а его отношение к плотности

√ (5)

Кинематический коэффициент турбулентной «вязкости».

Выделение коэффициента турбулентного перемешивания в форме(4) впервые было произведено французским учёным Ж. Буссинеском, поэтому она носит название формулы Буссинеска.

Рассматривая простейший случай плоского осреднённого движения с линиями тока, параллельными оси Ох, и осреднённой скоростью , зависящей только от , можно, согласно (2), написать выражение полного касательного напряжения