Уравнения Рейнольдса осреднённого турбулентного движения

Для количественного описания турбулентного движения Рейнольдс предложил следующий приём. Регистрируя по времени скорости потока в данной точке пространства, можно положить

Здесь действительные мгновенные скорости потока вдоль соответствующих осей координат; осреднённые по времени скорости; пульсационные скорости, или просто пульсации.

При этом предполагается, что в развитом турбулентном течении пульсации малы по сравнению со средними скоростями и что величины осреднённых скоростей слабо зависят от способа осреднения.

Обычное интегральное среднее некоторой величины за промежуток времени , определяется выражением:

(1)

Будем предполагать, что для рассматриваемого турбулентного движения существует достаточно большой по сравнению с периодом турбулентных пульсаций, но малый по сравнению с характерным для осреднённого турбулентного движения интервалом времени (периодом колебательного процесса, временем прохождения телом своей длины и др.)постоянный период осреднения ,такой, что приведённое «сглаживание» по времени согласно выражению (1) приводит к осреднённой величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся. Это значит

(2)

Так как . Осредняя левую и правую части этого выражения по (1) получим (т.к.) согласно (2) .

Т.е. среднее значение пульсаций за выбранный период равно нулю.

Тогда, если и , то (4), а (5) – т.к. операции дифференцирования и интегрирования по времени не зависимы.

Таким же свойством обладает, и производная по времени:

Пользуясь часто постулированными, частью выведенными из определения закона осреднения свойствами, можно получить дифференциальные уравнения осреднённого движения несжимаемой жидкости. Следует лишь предположить, как это сделал и Рейнольдс, что действительное движение, несмотря на всю его иррегулярность и наличие в нём влияний случайных обстоятельств, связанных с предысторией потока, всё же строго описывается уравнениями Стокса. В этом простом, но далеко не очевидном допущении заключается основная идея общего подхода к описанию турбулентных течений, выдвинутая Рейнольдсом. Попытки создания чисто статистической теории турбулентных движений, не опирающейся на уравнения Стокса, не привели к сколько-нибудь существительным результатом. Для вывода дифференциального уровня осреднённого турбулентного движения воспользуемся уже ранее нам известного уравнения в напряжениях:

и уравнение несжимаемости жидкости: (8)

Согласно(8)

так как

Тогда уравнение в напряжениях(7) запишется в виде:

(9)

Тензор напряжений

Тензор-диада характеризует «перенос» количества движения потоком со скоростью .

Согласно общему приёму, предложенному Рейнольдсом, разобьём все входящие в уравнение (9) величины на их осреднённые и пульсационные составляющие, т.е.

Подставим записанную разбивку на осреднённые и пульсационные части в выражение (9) и производя после этого осреднение по ранее указанным законам, получим следующие основные уравнения Рейнольдса:

(10)

и (11)

Сравнивая (10) с общим уравнением в напряжениях (9) видно, что уравнения осреднённого турбулентного течения (10) отличаются от(9) дополнительным членом – симметричным тензором второго ранга

, (12)

Который можно трактовать как дополнительный, «рейнольдсов» тензор турбулентных напряжений, обусловленный осреднённой величиной переноса, пульсационного количества , пульсационными скоростями

Тензор можно расписать:

(13)

Тензор ,очевидно, обладает свойством симметрии.

Уравнения Рейнольдса (10) в проекциях на оси декартовых координат имеют вид:

(14)

(15)

(16)

Уравнение несжимаемости:

(17)

Тот же приём осреднения, как и при выводе уравнений (14) (16) применённый уравнению сохранения энергии, позволит получить следующее уравнение распространения тепла в турбулентном движении:

(18)

Здесь действительная

Физические константы плотность , теплоёмкость и теплопроводность - предполагаются постоянными.