Система уравнений Навье-Стокса для описания турбулентного движения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил может быть представлена в векторно - тензорной форме:
(1.1)
. (1.2)
В скалярно-тензорной форме уравнения неразрывности и изменения количества движения записывается так:
(1.3)
. (1.4)
С учётом уравнения неразрывности (1.3) уравнение (1.4) может быть представлено в виде
. (1.4а)
В уравнениях (1.1)-(1.4) используемые индексы определяют направления декартовой системы координат
(здесь декартовые составляющие скорости в направлении соответствующих осей; давление; время; плотность жидкости; составляющие тензора вязких напряжений; коэффициент динамической (молекулярной) вязкости; вектор местной скорости потока; единичные векторы; оператор Гамильтона; полная производная повремени).
С учётом уравнения неразрывности член, определяющий касательное трение, записывается как
(1.5)
где коэффициент кинематической вязкости.
Как уже отмечалось, согласно подходу Рейнольдса, любые мгновенные значения гидродинамических параметров потока представляются в виде суммы осреднённой величины (во времени) и её пульсационной составляющей. Фактически это означает, что гидродинамическая величина является случайной, осреднение которой во времени даёт её математическое ожидание, а пульсационная составляющая которой – дисперсия случайной величины. Обозначая осреднённую во времени величину , а пульсационную , для составляющей скорости , например, можно записать . Тогда уравнение (1.3) примет вид
|
|
(1.3а)
Для давления , для трения . Естественно, что , . Следует отметить, что среднее значение , несмотря на интегрирование времени:
Может изменяться во времени. Это означает, что период интегрирования должен быть малым по сравнению с характерным временем нестационарного изменения .
Применяя операцию осреднения во времени к уравнению (1.4а), получим
, (1.6)
Где - - составляющие тензора напряжений Рейнольдса или рейнольдсовых напряжений. Они являются дополнительными (шестью) неизвестными к гидродинамическим параметрам осреднённого движения (). Таким образом, система уравнений (1.3а) и (1.6) является незамкнутой.
Вопросы замыкания полученной системы уравнений решаются на различном уровне сложности, и им будет посвящена значительная часть курса. Простейший путь – использование эмпирической информации о характеристиках турбулентности, наиболее сложный заключается в выводе уравнений относительно рейнольдсовых напряжений.