Квантовая механика

Квантовая механика возникла на основе удивительных открытий конца XIX – начала ХХ вв.

Во второй половине XIX века были открыты катодные лучи, которые, как было установлено несколько десятилетий спустя, состоят из электронов. В конце века были открыты рентгеновские Х -лучи и радиоактивность некоторых ве- ществ. Оказалось также, что некоторые вещества, как напри- мер уран, испускают лучи, которые не являются катодными. Они получили название α -, β -, и γ -лучей. В начале ХХ в. фи- зики поняли, что эти лучи вылетают из ядер. Было установ- лено, что первые два вида лучей – это соответственно элек- троны и ядра гелия, а третий вид – нейтральное сильно про- никающее излучение, которое оказались потоком фотонов высоких энергий, или γ -квантов. Открытие фотоэффекта, ги- потеза квантов Планка, модели атома Резерфорда и Бора – все это стало базой для создания квантовой теории и более совершенной модели атома. Физики понимали, что электро- ны внутри ядра двигаются с огромной скоростью и говорить

о каком-либо точном их положении в атоме было бы невер- но. Представление об электроне, скачущем с одной орбиты на другую, было слабым приближением к реальности. Нуж- ны были другие подходы к описанию атома.

Накопление огромного экспериментального материала и целый ряд теоретических представлений позволили сделать шаг к созданию новой модели атома. Развитие квантовой теории связано с именами великих физиков XX века – Кюри, Рентгена, Беккереля, Резерфорда, Бора, Планка, Эйнштейна и других. Последней ступенькой к этому стала гипотеза Луи де Бройля и соотношение неопределенности Гейзенберга.

Луи де Бройль39в 1923 году дал обоснование теории Бо-

ра, основываясь на законах симметрии природы. Он предпо- ложил, что если фотоны обладают волновыми и корпуску- лярными свойствами, то и любые другие частицы, например электроны, наряду с корпускулярными обладают и волновы- ми свойствами. В этом случае частице массой m, движущей- ся со скоростью v, соответствует длина волны λ, называемая дебройлевской длиной волны:

l = hmv

, (4.2.1)

Каждому электрону в атоме, считал де Бройль, соответствует стоячая волна. Хорошо известно, что в пространстве, огра- ниченном стенками, могут возникнуть лишь стоячие волны, а остальные будут затухать. Такие волны по гипотезе де Бройля могут возникать вдоль орбиты атома, как показано на рис. 4.8, а. В этом случае, возникшие стоячие волны будут замыкаться на себя, т.е. на длине орбиты должно помещаться целое число волн:

2 πrn = nλ, n = 1,2,3,… (4.2.2)

Подставляя (4.2.1) в (4.2.2), получаем

39Луи де Бройль (1892–1987) – знаменитый французский физик, член французской Академии наук. Получил образование сначала историка, а затем физика в Парижском университете. В 1929 г. за открытие волновой природы электронов де Бройль был удостоен Нобелевской премии по физике. Член французской Академии наук.

mvrn= nħ.

(4.2.3)

Выражение (4.2.3) представляет собой один из постулатов

Бора или,

как принято его называть, условие квантования.

Спустя несколько лет его гипотеза была подтверждена экс- периментально. К.Д. Дэвиссон и Л.Х. Джермер в 1927 г., ис- следуя рассеяние электронов на поверхности металла, обна- ружили дифракционную картину (рис. 4.8, б). Позднее этот же эффект наблюдали для других частиц.

С другой стороны ранее был открыт фотоэффект – рас-

сеяние фотона на связанном (с

атомом)

электроне,

а также

Комптон-эффект –

аналогичное рассеяние фотона

на сво-

бодном (не связанном с атомом) электроне. Объяснить оба эффекта можно в случае, если фотон представляет собой не

волну, а частицу. Это отличается от представлений ческой физики, где свет имеет волновую природу.

класси-

а б

Рис. 4.8. Стоячие волны вдоль орбиты (а)

и дифракция (б) электронов

Анализ недостатков теории Бора при ее огромной значи- мости для развития физики атома позволил понять, почему в начале 1920-х гг. многие физики стали все более отчетливо

сознавать

необходимость создания новой, более последова-

тельной теории. И менее чем через два года после того, как де Бройль выдвинул гипотезу о волнах материи, Эрвин Шре- дингер40 и Вернер Гейзенберг41независимо разработали но- вую, более общую теорию.

40 Эрвин Шредингер (1887–1961) – австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики, иностранный почетный член (1934) АН СССР. Он проводил исследования в области кри-

Новая теория, получившая название квантовой механики, создала из корпускулярно-волнового дуализма единую по- следовательную теорию. Квантовая механика – это теория, устанавливающая способ описания и законы движения мик- рочастиц, связь величин, описывающих частицы и системы.

Волновая функция. Важнейшими характеристиками любой волны являются ее длина, частота и амплитуда. Для материальных частиц квантовая механика согласно формуле де Бройля (4.2.1) устанавливает соотношение между длиной волны и импульсом частицы p = mv:

=

h h

ß =

p mr

. (4.2.4)

В квантовой механике амплитуду, например электронной волны, называют волновой функцией Y. С помощью волно- вой функции Y описывается положение электрона в атоме.

Интерпретировать волновую функцию Y можно как спо- соб задания в любой точке пространства и в любой момент времени амплитуды «волны материи», подобно тому, как вектор напряженности электрического поля E задает ампли- туду электромагнитной волны. Однако возможна и другая интерпретация, основанная на корпускулярно-волновом дуа- лизме. Если зависящая от времени и от точки пространства волновая функция Y описывает отдельный электрон (ска-

жем, в атоме), то

Y 2 определяет вероятность найти электрон

в этой точке пространства в выбранный момент времени, т.е. вероятность P нахождения электрона в заданной точке опре- деляется соотношением

P ~ |T|2. (4.2.5)

Для понимания корпускулярно-волнового дуализма вос- пользуемся данными эксперимента с двумя щелями (рис.4.9). Предположим, что ширина каждой из щелей и расстояние между ними по порядку величины сравнимы с длиной вол-

сталлографии, математической физики, теории относительности, биофизики. В 1933 г. удостоен Нобелевской премии по физике.

41В. Гейзенберг (1901–1976) – немецкий физик. За создание кван- товой механики в 1932 г. удостоен Нобелевской премии по физике.

ны, падающей на них. Это справедливо для световой волны или дебройлевской волны электронов. В случае световой волны известно, что на экране позади щелей будет наблю- даться интерференционная картина. Удивительно, что если вместо света взять электроны, то они тоже создадут интер- ференционную картину. Там, где волновая функция Y обра- щается в ноль, находится минимум интерференционной кар- тины. Там, где волновая функция Y максимальна, наблюда- ется максимум интерференционной картины. Таким образом, электрон можно рассматривать как световую волну, движу- щуюся одновременно через две щели, которая после прохо- ждения щелей интерферирует между собой.

Рис. 4.9. Эксперимент с двумя щелями

Суть всего сказанного сводится к следующему. Если мы трактуем электроны (или какие-либо другие частицы) как волны, то волновая функция Y описывает амплитуду соот- ветствующей материальной волны. Если же мы трактуем электроны как частицы, то Y следует интерпретировать на основе вероятности нахождения электрона в заданной точке.