2015-01-21
718
1. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.
2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:
.
3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число:
.
4. Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю:
.
5. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:
.
6. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:
где 
- общая средняя (средняя арифметическая всего ряда); 
- групповая средняя i-й группы, объем которой равен 
; l - число групп.
Дисперсией 
вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:
.
Формулу для дисперсии вариационного ряда можно записать в виде: 
|
|
|
где 
.
Для несгруппированного ряда 
: 
.
Дисперсию часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она (в отличие от дисперсии СВ) находится по опытным или статистическим данным.
Вычисление средней арифметической 
и дисперсии вариационного ряда можно упростить, если использовать не первоначальные варианты 
(i = 1, 2,..., m), а новые варианты:
, (1)
где с и k - специально подобранные постоянные.
Согласно свойствам 2 и 3 средней арифметической и дисперсии:
, (2)
, (3)
Откуда
(4)
. (5)
Затем, получим 
(6)
Теперь, заменяя в (4) и (5) 
и 
их выражениями 
и 
через варианты 
, получим
, (7)
, (8)
где определяются по (1).
Формулы (7) и (8) дадут заметное упрощение расчетов, если в качестве постоянной k взять величину (ширину) интервала по x, а в качестве с - середину серединного интервала. Если серединных интервалов два (при четном числе интервалов), то в качестве с рекомендуется взять середину одного из этих интервалов, например, имеющего большую частоту.
35. Генеральная и выборочная совокупности. Принцип образования выборки. Собственно-случайная выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Основная задача выборочного метода.
Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений) называется генеральной совокупностью. В матем-кой статистике понятие генеральной совокупности трактуется как совокупность всех мыслимых наблюдений, к-ые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий, и в этом смысле его не следует смешивать с реальными совокупностями, подлежащими статистическому изучению. Так, обследовав даже все пр-тия подотрасли по определенным технико-эк-ким показателям, мы можем рассматривать обследованную совокупность лишь как представителя гипотетически возможной более широкой совокупности пр-тий, к-е могли бы функционировать в рамках того же реального комплекса условий.
|
|
|
Понятие генеральной совокупности в определенном смысле аналогично понятию случайной величины (закону распределения вер-тей, вероятностному пространству), т.к. полностью обусловлено определенным комплексом условий.
Та часть объектов, к-ая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью, или выборкой. Числа объектов (наблюдений) в генеральной или выборочной совокупности называются их объёмами. Генеральная совокупность может иметь как конечный, так и бесконечный объем.
Выборку можно рассматривать как некий эмпирический аналог генеральной совокупности. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом.
Преимущества выборочного метода наблюдения по сравнению со сплошным:
1) позволяет существенно экономить затраты ресурсов (материальных, трудовых, временных);
2) является единственно возможным в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследование связано с уничтожением наблюдаемых объектов (напр, исследование долговечности электрических лампочек, предельных режимов работы приборов и т.п.);
3) при тех же затратах ресурсов дает возможность проведения углубленного исследования за счет расширения программы исследования;
4) позволяет снизить ошибки регистрации, т.е. расхождения между истинным и зарегистрированным значениями признака.
Основной недостаток выборочною метода - ошибки исследования, называемые ошибками репрезентативности (представительства).
Однако неизбежные ошибки, возникающие при выборочном методе исследования в связи с изучением только части объектов, могут быть заранее оценены и посредством правильной организации выборки сведены к практически незначимым величинам. Между тем использование сплошного наблюдения даже там, где это принципиально возможно, не говоря уже о росте трудоемкости, стоимости и увеличении необходимого времени, часто приводит к тому, что каждое отдельное наблюдение поневоле проводится с меньшей точностью. А это уже сопряжено с неустранимыми ошибками и в конечном счете может привести к снижению точности сплошного наблюдения по сравнению с выборочным.
Чтобы по данным выборки иметь возможность судить о генеральной совокупности, она д.б. отобрана случайно. Случайность отбора элементов в выборку достигается соблюдением принципа равной возможности всем элементам генеральной совокупности быть отобранными в выборку. На практике это достигается тем, что извлечение элементов в выборку проводится путем жеребьевки (лотереи) или с помощью случайных чисел, имеющихся в специальных таблицах или вырабатываемых ЭВМ с помощью датчика случайных чисел.
Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генеральную совокупность.
Различают следующие виды выборок:
1) собственно-случайная выборка, образованная случайным выбором элементов без расчленения на части или группы;
2) механическая выборка, в к-ую элементы из генеральной совокупности отбираются через определенный интервал. На пример, если объем выборки должен составлять 10% (10%-ная выборка), то отбирается каждый l0-й ее элемент и т.д.;
3) типическая (стратифицированная) выборка, в к-ую случайным образом отбираются элементы из типических групп, на к-ые по нек-му признаку разбивается генеральная совокупность;
|
|
|
4) серийная (гнездовая) выборка, в к-ую случайным образом отбираются не элементы, а целые группы совокупности (серии), а сами серии подвергаются сплошному наблюдению.
Используют два способа образования выборки:
1) повторный отбор (по схеме возвращенного шара), когда каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и м.б. повторно отобран;
2) бесповторный отбор (по схеме невозвращенного шара), когда отобранный элемент не возвращается в общую совокупность.
