Пример 6.9

(6.45)

(6.46)

(6.47)

Решение. Таким образом, математическая постановка задачи состоит в определении неотрицательного решения системы линейных неравенств (6.46), при котором достигается минимум функции (6.45). Чтобы найти решение задачи, прежде всего построим многоугольник решений. Как видно из рис. 6.15, им является треугольник BCD. Значит, функция (6.45) принимает минимальное значение в одной из точек: B, C или D. Чтобы определить, в какой именно, положим значение функции f равным некоторому числу, например 11 / 4. Тогда

или

(6.48)

Уравнение (6.48) определяет прямую, проходящую через начало координат. Координаты точек, принадлежащих этой прямой и многоугольнику решений, являются планами задачи, при которых значение функции (6.452) равно 11/4.

Возьмем теперь h = 5/2, т.е. положим

или

(6.49)

Рис. 6.15. Графическое решение задачи

Уравнение (6.49), так же как и (6.48), определяет прямую, проходящую через начало координат. Ее можно рассматривать как прямую, полученную в результате вращения по часовой стрелке вокруг начала координат прямой (6.48). При этом координаты точек, принадлежащих прямой (6.49) и многоугольнику решений, являются планами задачи, при которых значение функции (6.45), равное 5/2, меньше, чем в точках прямой (6.48). Следовательно, если положить значение функции (6.52) равным некоторому числу h₀:

(6.50)

а прямую (6.50), проходящую через начало координат, вращать в направлении движения часовой стрелки вокруг начала координат, то получим прямые

где h < h₀.

Найдем последнюю общую точку вращаемой прямой с многоугольником решений. Это точка D (3,1) (рис. 6.15), в которой достигается минимум функции (6.38)

При нахождении угловой точки многоугольника решений, в которой целевая функция задачи принимает наименьшее значение, мы полагали значение функции равным некоторым двум постоянным числам и установили направление вращения прямой, определяющее уменьшение значения функции. Это можно было сделать и по-другому. А именно: полагая значение функции f равным некоторому числу h, т.е.

(6.51)

и получив некоторую прямую, проходящую через начало координат и имеющую угловой коэффициент, зависящий от h, можно, используя производную, установить направление вращения прямой (6.51) при возрастании h. Получим

Практически же дело обстоит гораздо проще. Найдя точки В (1,3) и D (3,1) (рис. 6.15), в которых функция (6.45) может принимать минимальное значение, вычислим ее значение в этих точках: F (В) = 11/4, F (D) = 9/4. Так как F (В) ≥ F (D), то можно утверждать, что в точке D целевая функция принимает минимальное значение. Одновременно с этим заметим, что в точке В функция принимает максимальное значение.