Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции непрерывной в этой точке.

1. Если последовательность функций f₁(x), f₂(x), f₃(x) ……..f_n(x),… непрерывных на отрезке [а, в] равномерно сходится к функции f(x), то функция f(x) непрерывна на отрезке [а, в].

2. Сумма равномерно сходящегося ряда ∑u_n (х) на отрезке [а, в] с непрерывными членами является непрерывной функцией.

3. Если последовательность непрерывных функций f₁(x), f₂(x), f₃(x) ……..f_n(x),… равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [а, в], то числовая последовательность ∫^b_a f₁(x); ∫^b_a f₂(x); ∫^b_a f₃(x)….. ∫^b_a f_n(x) сходится и ее предел равен∫^b_a f (x).

4. Если ряд ∑u_n (х), где u_n (х)- непрерывная функция на [а, в] равномерно сходится к функции S(x), то ряд составленный из интегралов членов этого ряда

∫^b_a u₁(x)dx + ∫^b_a u₂(x)dx + ∫^b_a u₃(x)dx +…..+ ∫^b_a u_n(x)dx +…. сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку ∫^b_a S_n(x)dx.

5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых функций f₁(x), f₂(x), f₃(x) ……..f_n(x),… сходится к функции f(x) на отрезке [а, в], а последовательность производных этих функций

f ‘₁(x), f ‘₂(x), f ‘₃(x) ……..f ‘_n(x),… равномерно сходится на этом отрезке, то ее предел равен f ‘(x).