Минимизация затрат, необходимых для сокращения времени реализации проекта (второй способ)

Обозначения:

(i, j) — работа проекта в соответствии с опре­делениями, данными в теме 7;

— нормальная продолжительность рабо­ты (i,j) (продолжительность работы при детерминированном подходе — ме­тод СРМили ожидаемое время выпол­нения работы при стохастическом под­ходе — метод PERT);

— продолжительность работы (i,j) при максимально возможном ее сокраще­нии;

- величина максимально возможного со­кращения продолжительности работы (i,j) за счет дополнительных ресурсов;

— расчетные затраты на выполнение рабо­ты (i,j) при нормальной ее продолжи­тельности;

— расчетные затраты на выполнение рабо­ты (i,j) в условиях максимального со­кращения ее продолжительности за счет дополнительных ресурсов;

- удельные затраты на сокращение про­должительности работы (i,j) (на едини­цу времени).

Предположим, что любая дополнительная доля сокращаемого времени на выпол­нение работы потребует постоянной (неизмен­ной во времени) доли дополнительных затрат. При таком пред­положении для минимизации затрат на сокращение времени реа­лизации проекта можно использовать модель линейного программи­рования.

Для формулировки модели дополнительно введем следующие обозначения:

P- множество работ проекта;

— время наступления события i (событие-узел отражает факт завершения всех работ, входящих в данный узел);

- величина сокращения времени работы (i, j);

i = 1 —номер начального события для сети, описывающей проект;

i = п —номер конечного события для сети, описывающей проект;

T ₀ — желательное время выполнения проекта.

При данных обозначениях модель линейного программирова­ния имеет вид

, (7.10.1)

, (7.10.2)

, (7.10.3)

, (7.10.4)

, (7.10.5)

.

Если т — число работ, п — число событий, то описанная мо­дель имеет п + т переменных, т ограничений (7.10.2), т ограниче­ний (7.10.3), п + т ограничений (7.10.5) и одно ограничение (7.10.4). Итого п + т переменных и 3 т + n + 1 ограничение.

Если { x_j*, у_ij* } — оптимальный план, полученный для модели (710.1)—(7.10.5), то у_ij* — время, на которое следует сократить продолжи­тельность выполнения работы (i,j); — минимальная сум­ма издержек, необходимая для сокращения времени выполнения проекта до T₀.

2. Метод анализа затрат PERT/COST. Метод основан на по­строении области допустимых затрат, при которых проект может быть реализован за определенное время. В результате применения метода СРМили метода PERTможет быть получено наиболее раннее и наиболее позднее время начала каждой работы. Далее строятся два графика: график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ и график совокупных затрат при наиболее позднем времени начала работ.

Если фактические затраты на выполнение проекта будут нахо­диться внутри области, очерченной этими графиками, то проект может быть выполнен за время, соответствующее длине критичес­кого пути. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность выполнения проекта увеличится.

Пример 2. Минимизация затрат на сокращение времени реали­зации проекта. Проект пуско-наладки компьютерной системы состоит из вось­ми работ. В таблице 7.1 указаны взаимосвязь работ, нор­мальное время их выполнения и данные, характе­ризую­щие воз­можность сокращения продолжительности работ:

Таблица 7.1

Работа	Опорные работы	Время выполнения, недели	Затраты, руб., при времени выполнения	Прирост затрат, руб., на один день ускорения работ
Нормаль-ное	мини-маьное	нормаль-ное	минималь- ное 
A	-
B	-
C	A
D	B,C
E	D
F	E
G	B,C
H	F,G

Определите минимальную продолжительность проекта при нормальном времени выпол­нения работ. Можно ли уменьшить продолжительность проекта при дополнительных затратах?

Вопросы:

1. Какова продолжительность проекта при нормальном време­ни выполнения работ?

2. Сколько работ в этом случае являются критическими?

3. Каковы затраты на выполнение проекта при нормальном времени выполнения работ?

4. С какими минимальными дополнительными затратами мож­но выполнить этот проект за 16 недель?

Решение. Первый способ. Найдем критический путь при нормальном време­ни выполнения работ. Используем для этого метод СРМ.

Рис.7.2. Сетевой график для примера 2

Определяем критической путь.

Отсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 21 неделю. На критическом пути находятся работы В, D, Е, F, Н. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжитель­ности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных. В результате получаем затраты 18 700 руб.9300

Для определения минимальных дополнительных издержек, необходимых для того, чтобы снизить продолжительность проек­та до 16 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшеству­ющих работах построим графическое представление проекта (рис. 7.2).

Используя исходные данные (таблица 7.1) и формулы и определяем удельные (в едини­цу времени) затраты К_ij на сокращение продолжительности работ. Получаем следующие результаты:

Используя обозначения х_i — время наступления события i, - величина сок­ращения времени работы (i,j), получаем сле­дующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек, необходимых для сокращения продолжи­тельности проекта с 21 до 16 недель:

при условиях

или

Для решения сформулированной задачи можно ис­пользавать или программу Solver (поиск решения).

В следующей таблице приведенная выше модель представлена в формате программы поиск решения:

п/п

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

y12

y13

y23

y34

y45

y56

y36

y67

лчо

во

пчо

пп

-1

>=

-1

>=

-1

>=

-1

>=

-1

>=

-1

>=

-1

>=

<=

<=

<=

<=

<=

<=

<=

<=

<=

Выполнив расчеты, получаем следующие результаты:

п/п

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

y12

y13

y23

y34

y45

y56

y36

y67

лчо

во

пчо

пп

-1

>=

-1

>=

#

>=

-1

>=

-1

>=

-1

>=

-1

>=

<=

<=

<=

<=

<=

<=

<=

<=

<=

Итак, минимальные затраты, необходимые для того, чтобы со­кратить продолжитель­ность проекта с 21 до 16 недель, составля­ют 7950 руб.

Продолжительность каждой из работ (1, 3), (4, 5), (5, 6) и (3, 6) сокращается на одну неделю. Продолжительность работы (3, 4) сокращается на две недели.

Ответы: 1. 21 неделя. 2. Пять работ. 3. 18 700 руб. 4. 2260 руб.

Пример 2. Контроль затрат на выполнение проекта.

Перечень работ проекта, время их выполнения и оценки за­трат на выполнение работ отражены в следующей таблице:

Удельные затраты определены в предположении о том, что за­траты производятся равномерно в течение срока выполнения работы.

Определите, в каком диапазоне могут меняться фактические затраты на выполнение проекта при условии, что проект будет выполнен за минимальное время.

Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. При каком максимальном значении совокупных затрат, сде­ланных за первые 3 месяца реализации проекта, проект мо­жет быть выполнен за минимальное время?

3. При каком минимальном значении совокупных затрат, сде­ланных за первые 3 месяца реализации проекта, проект мо­жет быть выполнен за минимальное время?

4. При каком максимальном значении совокупных затрат, сде­ланных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

5. При каком минимальном значении совокупных затрат, сде­ланных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?

Решение. Определим минимальное время выполнения проек­та. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ. Введем в программу POMWIN информацию о предшествующих работах и времени их выполнения:

Результаты расчетов представлены в следующей таблице:

Ожидаемое время выполнения проекта равно 8 месяцам.

Определим динамику совокупных затрат для графика выпол­нения проекта с наиболее ранним началом всех работ:

Определим динамику совокупных затрат для графика выпол­нения проекта с наиболее поздним началом всех работ:

Рис. 2

На рис. 2 показаны два графика. Выше проходит график совокуп­ных затрат при наиболее раннем времени начала работ, ниже — при наиболее позднем времени начала работ. Если фактические за­траты на выполнение проекта будут находиться внутри очерчен­ной области, то проект может быть выполнен за 8 месяцев. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность проекта увеличится.

Таким образом, менеджер может контролировать фактические затраты по проекту. Если сметные затраты не выполнены или до­пущен перерасход, необходимо осуществлять корректирующие воздействия, сдвигая время начала отдельных работ и (или) сокра­щая их продолжительность путем привлечения дополнительных ресурсов.

Ответы: 1. Восемь месяцев. 2. 43 тыс. руб. 3. 30 тыс. руб. 4. 77 тыс. руб. 5. 59 тыс. руб.