Формальное решение. Устойчивость

Формальное решение задачи (1) строится по известным формулам Крамера:

Формальное решение устойчиво, т.е. непрерывно зависит от входных данных A и f.

Действительно, варьируя , найдем:

Получаем, что:

(4)

Таким образом:

Нормы

Основные используемые в нормы:

1) Норма вектора x.

Запишем разложение вектора по базису:

.

Базисные вектора образуют строку e, а координаты вектора ` x - столбец X

a) Евклидова норма вектора

b) -Норма (при p=2 норма Гильберта - Шмидта)

(для конечномерного случая 1/n можно перед суммой опустить).

с) c - норма (равномерная или Чебышевская норма вектора x)

В имеют место соотношения:

т.е. в все эти нормы эквивалентны и сходимость в любой из них влечет сходимость в остальных нормах.

Проверим, например:

Имеем:

2). Норма матрицы А. Норма матрицы А, согласованная с нормой вектора x определяется следующим образом:

Отсюда

Это условие согласования норм ||x| | и ||A||.

Можно проверить, что введенная таким образом норма матрицы удовлетворяет неравенствам:

,

Для квадратных матриц наиболее употребительны следующие нормы:

(где - собственные значения симметричной самосопряженной матрицы , ).

Первые две нормы не имеют специальных названий:

- называется максимальной,

- сферической или евклидовой,

- спектральной.

Умножая вектор х на матрицу А, получаем новый вектор Ах, норма которого может сильно отличаться от нормы вектора х.

Величину можно рассматривать как своеобразный «коэффициент растяжения» вектора х матрицей А. Для некоторых векторов он может быть малым, а для некоторых большим.

Если M и m – максимальное и минимальное значение коэффициента растяжения, то

Нормой матрицы А называется максимальное значение коэффициента растяжения:

Минимальное значение коэффициента растяжения также играет важную роль в линейной алгебре.

Если А – невырожденная матрица, то для нормы обратной матрицы справедливо равенство: