Обусловленность матрицы. Погрешности

Числа обусловленности матрицы определяют чувствительность решения системы линейных уравнений к погрешностям исходных данных. Следующие функции позволяют найти числа обусловленности матриц.

Значение cond(X), близкое к 1, указывает на хорошо обусловленную матрицу;

Вернемся к анализу формулы (4) для вариации решения x

1. Пусть матрица А известна точно ( ) и погрешность решения связана лишь с погрешностью правой части, тогда:

Из:

Перемножая полученные неравенства, найдем:

Или

=M/m - число обусловленности матрицы А.

- всегда (в любой норме), т.о. хорошо обусловленные матрицы – это матрицы с малым , при этом относительная погрешность решения мала.

2. Пусть известно возмущение матрицы А, при условии, что правая часть f задана точно.

Тогда:

Или

Таким образом, чем больше число обусловленности, тем чувствительнее система к округлениям.

Системы с большим числом обусловленности называют плохо обусловленными.

В случае СЛАУ 2-го порядка понятие обусловленности матрицы допускает наглядную геометрическую интерпретацию.