Центрированная по времени неявная схема

Для построения неявной разностной схемы 2-го порядка вычтем 2 ряда Тейлора:

и заменим на

В результате получим

Такое выражение для разностной производной называется конечно-разностной аппроксимацией по Кранку – Николсону.

Для линейного волнового уравнения имеем:

Подставляя вместо членов с производной по x - замену центральной разностью, получаем

Это схема имеет погрешность порядка , абсолютно устойчива, решается методом прогонки. Множитель перехода равен

При использовании методов повышенного порядка точности (3-го, 4-го) за увеличение точности приходится платить увеличением времени счета и усложнением разностной схемы. Это необходимо учитывать при выборе разностной схемы.

Обычно, для большинства приложений достаточную точность позволяют получить методы 2-го порядка точности.

При решении одномерного волнового (линейного) уравнения явные методы предпочтительнее, чем неявные, так как решение нестационарное (нас интересуют значения величин через небольшие промежутки времени)