Покажем, как находится смешанное произведение, если известны координаты умножаемых векторов в прямоугольной системе координат. Пусть - координатные векторы.
Векторное произведение в координатах имеет вид
а скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат равно сумме произведений соответствующих координат, поэтому,
Таким образом, смешанное произведение векторов равно определителю матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты умножаемых векторов, то есть,
.