Свойства смешанного произведения

Из свойств векторного произведения и свойств скалярного произведения следуют следующие свойства смешанного произведения:

1.
;

2.
;

3.

Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны.

Действительно, если , то по определению векторного произведения , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как . Если же или , то угол между векторами и равен , следовательно, по определению скалярного произведения векторов .

Свойства смешанного произведения обычно применяются при доказательстве тождеств или неравенств.

Рассмотрим несколько характерных задач.

Пример.

Докажите равенство , где - некоторое действительное число.

Решение.

Преобразуем левую часть равенства, обратившись к третьему свойству смешанного произведения:

Выше мы показали, что , следовательно,

По первому свойству смешанного произведения , а . Таким образом, .

Поэтому,

Что и требовалось доказать.

Пример.

Докажите, что модуль смешанного произведения трех векторов не превосходит произведения длин этих векторов.

Решение.

Иными словами, нам требуется доказать неравенство .

По определению скалярного и векторного произведения векторов, мы можем записать

Из свойств основных элементарных функций мы знаем, что . Следовательно,

что и требовалось доказать.

К началу страницы