Вычисление смешанного произведения, примеры и решения

Проще всего смешанное произведение находится, когда известны координаты векторов. Для вычисления используется формула .

Пример.

Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат . Найдите смешанное произведение .

Решение.

Мы выяснили, что смешанное произведение векторов может быть вычислено через определитель матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты векторов, то есть,

Ответ:

Пример.

Найдите векторно-скалярное произведение векторов , где - орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение.

Данные векторы имеют следующие координаты (при необходимости смотрите статьюкоординаты вектора в прямоугольной системе координат)

Осталось воспользоваться формулой для вычисления смешанного произведения через координаты векторов

Ответ:

Смешанное произведение векторов также может быть вычислено, если известны длины векторов и углы между ними. Рассмотрим решение характерного примера.

Пример.

В правой прямоугольной декартовой системе координат заданы три взаимно перпендикулярных вектора и , образующих правую тройку, их длины равны соответственно 4, 2 и 3. Найдите их смешанное произведение .

Решение.

Обозначим .

Нам известно, что скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними, поэтому .

Сразу подставим значение длины вектора , известное из условия: .

У нас остались неизвестные и . Найдем их.

По условию , тогда по определению векторного произведения находим длину вектора :

Из определения векторного произведения мы можем заключить, что вектор перпендикулярен вектору и вектору , причем тройка векторов будет правой, так как векторы и заданы в правой прямоугольной декартовой системе координат. Следовательно, векторы и будут сонаправленными, то есть, .