Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений методы их решения: Гаусса, Крамера, матричный.

Кольца и поля

Поле комплексных чисел. Кольцо целых чисел. Отношение делимости в кольце Z и его свойства. Кольцо многочленов P[x]. Отношение делимости в кольце многочленов от одной переменной и его свойства.

Лекционный курс — 54 часа

Лекция №1

Понятия об основных алгебраических структурах. Алгебры, подалгебры. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр.

Лекция №2

Алгебры с одной бинарной алгебраической операцией. Группа, аксиомы группы. Мультипликативная и аддитивная форма записи. Группы конечные и бесконечные. Подгруппа. Достаточные условия подгруппы.

Лекция №3

Кольцо, поле, линейное пространство. Арифметическое n- мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.

Лекция №4

Алгебры матриц. Матрицы типа (n´m) и квадратные матрицы. Операции над матрицами. Свойства операций. Группа, кольцо и линейное пространство матриц.

Лекция №5

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Элементарные матрицы. Обратимые матрицы. Условия обра-тимости матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

Лекция №6

Перестановки и подстановки. Четные и нечетные подстановки. Конечная группа подстановок и ее знакопеременная подгруппа.

Лекция №7

Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Определитель произведения матриц. Способы вычисления определителя.

Лекция №8

Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы. Следствия системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных урав-нений и элементарные преобразования системы. Критерий совместности системы линейных уравнений.

Лекция №9

Методы решения систем линейных уравнений: метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса); запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричной форме (матричный метод); правило Крамера.

Лекция №10

Однородные системы линейных уравнений. Пространство решений однородных систем линейных уравнений. Фундаментальный набор решений (базис пространства) однородных систем линейных уравнений. Связь между реше-ниями неоднородной линейной системы и ассоциированной с ней однородной системы.