Глава 4. Комплексные числа

Содержание темы.

Теорема о существовании поля комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, тригонометрическая форма записи, действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Основные умения и навыки, которыми должны овладеть студенты в процессе изучения этой темы:

- уметь изображать комплексные числа на координатной плоскости в виде точек и радиус-векторов и наоборот;

- уметь находить модуль и аргумент "zÎC, переходить от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и наоборот;

- уметь выполнять арифметические операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме, понимать их геометрический смысл;

- использовать полученные знания при решении задач алгебры и геометрии.

Все теоретические положения и практические выводы этой темы вытекают из теоремы о существовании поля комплексных чисел.

Теорема 1: Существует единственное, с точностью до изоморфизма, поле С, в котором выполняются следующие условия:

1. Поле R является подполем поля С.

2. i² = -1

3. "zÎC $х, yÎR: z = x+ iy

Запись комплексного числа zв виде х + iy называется его алгебраической формой, при этом (х) называют действительной частью комплексного числа, iy - мнимой частью, а (у) – коэффи-циентом мнимой части. Обозначение: Re z - действительная часть, Im z - мнимая часть комплексного числа.

Так как (z = х + iy) Î (C = R x R), то с геометрической точки зрения, любое комплексное число имеет две равноправные геометрические интерпретации (модели).

а) точка координатной плоскости А (х, у);

б) радиус-вектор с концом в точке с координатами (х, у)

Геометрический подход к понятию комплексного числа позволяет записывать его в так называемой тригонометрической форме.

Для этого вводятся понятия модуля и аргумента комплексного числа.

Определение 1: Модулем комплексного числа z называется арифметическое значение корня квадратного из х² + у², то есть

Это понятие является обобщением понятия «абсолютная величина действительного числа», так как, если z = х + 0i, то .

С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа - это длина радиус-вектора ОА или расстояние от начала координат до точки с координатами (х, у).

Определение 2: Аргументом комплексного числа z называют угол j между положительным направлением оси и радиус - вектором , отсчитываемым против часовой стрелки.

Из этого определения следует, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до числа, кратного 2p. Поэтому на практике, в качестве аргумента, обычно берут наименьший положительный или наименьший по абсолютной величине угол, который обозначают j =arg z и находят из соотношений:

cos j = , sin j = , 0 £ j £ 2p

тогда х + iy = и мы получим тригонометрическую формулу записи комплексного числа.

Во избежание ошибок при нахождении аргумента комплексного числа z его нужно предварительно изобразить на координатной плоскости.

Модуль и аргумент комплексного числа z являются известными из курса геометрии полярными координатами точки, соответ-ствующей числу z. При этом полярной осью служит ось

Понятие модуля и аргумента комплексного числа z позволяют записать это число в тригонометрической форме.

Пример 1. Комплексное число z = записать в тригонометрической форме.

1. Изобразим данное комплексное число на координатной плоскости. Это будет радиус-вектор с концом в точке (, -1) (см. рисунок)

2. Найдем его модуль | z | = | | =

3. Найдем аргумент из соотношений

или j = 11p/6

Таким образом,

Существование двух форм записи одного и того же комплексного числа z = х + iy = |z| (cosj + sinj) позволяет выполнять алгебраические операции на множестве С в той форме, которая наиболее удобна в каждом конкретном случае.

Теорема 2. Если z₁ =x₁ + iy₁, z₂ =x₂ + iy₂, то

1. z₁+z₂ = (x₁+x₂) + i(y₁+y₂)

2. z₁-z₂ = (x₁-x₂) + i(y₁-y₂)

3. z₁×z₂ = (x₁x₂-y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

5. На практике обычно формулы 3), 4) не запоминают, а руководствуются такими мнемоническими правилами:

а) чтобы перемножить два комплексных числа, нужно перемножить их как два двучлена;

б) чтобы разделить z₁ на z₂ ¹ 0, нужно числитель и знаменатель домножить на комплексное число, сопряженное знаменателю и выполнить указанные действия (z = х – iy называют сопряженным по отношению к z = х + iy).

Извлечение в алгебраической форме практически не используется.