В. Г. ШЕРШНЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть I. Дифференциальное исчисление
Курс лекций
Москва
ГОУ ВПО «РЭА им. Г. В. Плеханова»
УДК 512
ББК
Ш
Шершнев В. Г.
Ш Математический анализ. Часть I. Дифференциальное исчисление.
Курс лекций для дистанционной формы обучения. – М.: ГОУ ВПО
«РЭА им. Г.В. Плеханова», 2009 г. - 110 с.
Данное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором на экономических факультетах РЭА им. Г. В. Плеханова. Содержит теоретический материал по разделам математического анализа: множества, пределы последовательностей и функций, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Приводится решение характерных заданий. Пособие соответствует программе по математическому анализу для студентов экономических специальностей.
УДК 512
ББК
© ГОУ ВПО «РЭА им. Г. В. Плеханова», 2009
© Шершнев В.Г., 2009
Оглавление
Календарно-тематический план................................. | |
Глава I. Введение в математический анализ..................... | |
1.1. Множества................................................. | |
1.1.1. Определение множества.................................. | |
1.1.2. Операции над множествами............................... | |
1.1.3. Свойства операций над множествами....................... | |
1.1.4. Декартово произведение множеств......................... | |
1.1.5. Модуль числа, его свойства................................ | |
1.1.6. Грани числовых множеств................................. | |
1.1.7. Счетные и несчетные множества........................... | |
1.2. Функции, их классификация................................. | |
1.3. Предел последовательности.................................. | |
1.4. Предел функции............................................ | |
1.4.1. Определение предела функции............................. | |
1.4.2. Геометрический смысл предела............................. | |
1.4.3. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции.................................. | |
1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.............. | |
1.5.1. Определение бесконечно малой функции.................... | |
1.5.2. Свойства бесконечно малых функций....................... | |
1.6. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции........................................... | |
1.7. Теоремы о пределах (свойства пределов)....................... | |
1.8. Замечательные пределы...................................... | |
1.8.1. Первый замечательный предел............................. | |
1.8.2. Второй замечательный предел............................. | |
1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях..................................................... | |
1.9. Сравнение бесконечно малых функций......................... | |
1.10. Непрерывность функции в точке и на отрезке.................. | |
1.10.1. Определение непрерывности функции..................... | |
1.10.2. Действия над непрерывными функциями................... | |
1.10.3. Непрерывность элементарных функций.................... | |
1.10.4. Свойства непрерывных функций.......................... | |
1.10.5. Точки разрыва функций.................................. | |
Глава II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной........................................................... | |
2.1. Производная функции....................................... | |
2.1.1. Определение производной функции........................ | |
2.1.2. Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции...................................... | |
2.1.3. Непосредственное нахождение производной................. | |
2.1.4. Геометрический смысл производной........................ | |
2.1.5. Механический смысл производной......................... | |
2.1.6. Правила дифференцирования функций...................... | |
2.1.7. Вывод производных основных элементарных функций........ | |
2.1.8. Сводка формул. Правила дифференцирования и таблица производных....................................................... | |
2.1.9. Производные высших порядков............................ | |
2.1.10. Эластичность функции................................... | |
2.1.11. Геометрический смысл эластичности...................... | |
2.1.12. Экономический смысл эластичности....................... | |
2.1.13. Свойства эластичности функции.......................... | |
2.2. Дифференциал функции одной переменной..................... | |
2.2.1. Определение дифференциала функции...................... | |
2.2.2. Геометрический смысл дифференциала...................... | |
2.2.3. Свойства дифференциала................................. | |
2.2.4. Применение дифференциала для приближенных вычислений... | |
2.2.5. Дифференциалы высших порядков......................... | |
2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях...................... | |
2.3.1. Теорема Ролля........................................... | |
2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля...................... | |
2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля..................... | |
2.3.4. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции.......... | |
2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа................... | |
2.3.6. Теорема Коши........................................... | |
2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя................................................. | |
2.3.8. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени.............................................. | |
2.4. Формулы Тейлора и Маклорена............................... | |
2.4.1. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа....... | |
2.4.2. Формула Маклорена..................................... | |
2.4.3. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена.......................................... | |
2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций.............................................. | |
2.5. Исследование функций..................................... | |
2.5. 1.Необходимый и достаточный признаки монотонности функций. | |
2.5.2. Определение экстремума функции.......................... | |
2.5.3. Необходимый признак экстремума функции................. | |
2.5.4. Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)..................................... | |
2.5.5. Второй достаточный признак экстремума функции (с использованием производной второго порядка)............................. | |
2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба...................................................... | |
2.6.7. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции | |
2.5.8. Необходимый признак существования точки перегиба........ | |
2.5.9. Достаточный признак существования точки перегиба.......... | |
2.5.10. Асимптоты графика функции............................. | |
2.5.11. Построение графика функции............................. | |
Глава III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных..................................................... | |
3.1. Определение функции нескольких переменных.................. | |
3.2. Предел функции нескольких переменных....................... | |
3.3. Бесконечно малые функции нескольких переменных............. | |
3.4. Свойства пределов.......................................... | |
3.5. Непрерывность функций нескольких переменных. Точки и линии разрыва....................................................... | |
3.6. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных................................................... | |
3.6.1. Геометрический смысл частных производных................ | |
3.7. Дифференцируемость функции нескольких переменных.......... | |
3.8. Необходимые условия дифференцируемости функции нескольких переменных................................................... | |
3.9. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных................................................... | |
3.10. Полный дифференциал функции нескольких переменных....... | |
3.10. 1. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных для приближенных вычислений.......................... | |
3.11. Частные производные высших порядков....................... | |
3.12. Дифференциалы высших порядков.......................... | |
3.13. Частные производные сложной функции нескольких переменных | |
3.14. Производная функции, заданной неявно...................... | |
3.15. Производная функции по направлению....................... | |
3.16. Градиент функции, его свойства............................ | |
3.17. Формула Тейлора для функций двух переменных.............. | |
3.18. Локальный экстремум функции нескольких переменных........ | |
3.19. Необходимый признак локального экстремума................ | |
3.20. Достаточный признак локального экстремума функции двух переменных..................................................... | |
3.21. Метод наименьших квадратов (МНК)........................ | |
3.22. Условный экстремум функции нескольких переменных......... | |
3.22.1. Постановка задачи...................................... | |
3.22.2. Нахождение критических точек........................... | |
3.22.3. Метод множителей Лагранжа............................. | |
3.22.4. Достаточный признак условного экстремума функции нескольких переменных........................................... | |
3.23. Абсолютный экстремум функций нескольких переменных...... | |
Вопросы к экзамену............................................. | |
Литература.................................................... |
КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
|
|
|
|
|
|
Распределение часов по темам и видам работ
|
|
Наименование разделов и тем | Всего | Аудиторные часы | Самостоят. работа | Форма контр. | |
Лекци | Семин. | ||||
Раздел 1.Введение в математический анализ | |||||
Тема 1.Множества и функции | |||||
Тема 2.Предел числовой последовательности | |||||
Тема 3.Предел функции | Контр. работа | ||||
Тема 4.Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функции | |||||
Раздел 2.Дифференциальное исчисление функций одной переменной | |||||
Тема 5.Производная функции | |||||
Тема 6.Дифференциал функции. Предельный анализ | |||||
Тема 7.Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. | Контр. работа | ||||
Тема 8.Применение дифференциального исчисления для исследования функций | Контр. работа | ||||
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных | |||||
Тема 9.Функции нескольких переменных: определение, предел, непрерывность, частные производные | |||||
Тема 10.Дифференцируемость функций нескольких переменных | |||||
Тема 11.Экстремум функции нескольких переменных | |||||
Тема 12.Метод наименьших квадратов | Контр. работа | ||||
Всего | Экзам. |