Счетные и несчетные множества

Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие.

Если это соответствие взаимнооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А ~ В или А Û В.

Примеры:

1. Множества А = {1, 2, 3, …, n, …} и являются равномощными, т. к. между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие: 1 «, 2 «, 3 «, …, n «, ….

2. Множество точек катета BC и гипотенузы AC треугольника ABC являются равномощными (рис. 1).

Рис. 1

3. Можно установить взаимнооднозначное соответствие между точками отрезка [0; 1] и множеством точек всей числовой прямой (-∞; +∞). Построим полуокружность радиуса r = 0,5 с центром в точке С (0,5; 0,5) (рис. 2).

Рис. 2

Через точку , принадлежащую отрезку [0; 1], проведем прямую параллельно оси Oy до пересечения с полуокружностью в точке . Через точки С и проведем прямую до пересечения с осью Ox в точке . Следовательно, точке соответствует точка и наоборот. Таким образом, можно установить соответствие между любой точкой отрезка [0; 1] и точкой множества точек числовой прямой (-∞; +∞). В частности, если = 0,5, то = 0,5; если = 1, то = ¥. Следовательно, эти множества равномощные, [0; 1] ~ (-∞; ∞).

Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров .

Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел.

Следовательно, любая последовательность является счетным множеством.

Предложение 1. Для того, чтобы множество было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде последовательности.

Предложение 2. Декартово произведение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.

Предложение 3. Любое подмножество счетного множества является либо конечным, либо счетным.

Таким образом, счетное множество является наименее мощным из бесконечных множеств.

Более мощным, чем счетное множество, является множество действительных чисел . Его мощность называют мощностью континуума. Так как [0; 1] ~ R, то множество точек отрезка [0; 1] обладает также мощностью континуума.