Теоремы о пределах (свойства пределов)

Теорема 1.5. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т. е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем теорему 1.3.

………………………………………..

Сумму левых частей равенств приравняем сумме правых частей, получим

. Так как сумма является постоянной, а сумма конечного числа бесконечно малых функций - бесконечно малой функцией по первому свойству бесконечно малых функций, то по теореме 1.4

Теорема 1.6. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т. е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существуют пределы и

. По теореме 1.3 , , где - постоянные величины, - бесконечно малые функции при . Тогда

Так как сумма является постоянной величиной, а является бесконечно малой функцией по свойствам 1 и 2 бесконечно малых функций, то по теореме 1.4

Следствие 1. Постоянную величину можно выносить за знак предела, т.е.

Следствие 2. Предел степени функции равен степени предела функции, т. е. .

Теорема 1.7. Предел частного функций равен частному пределов функций, если предел функции, стоящей в знаменателе, отличен от нуля, т. е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , , .

На основании теоремы 1.3 имеем , .

Найдем разность функции и постоянной .

Согласно свойствам бесконечно малых функций данная разность является бесконечно малой функцией, следовательно, по теореме 1.4 предел функции равняется постоянной , т. е. .