2015-02-27
2118
Теорема 1.5. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т. е.
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем теорему 1.3.
,
,
………………………………………..
,
где 
- бесконечно малые функции при 
.
Сумму левых частей равенств приравняем сумме правых частей, получим
. Так как сумма 
является постоянной, а сумма конечного числа бесконечно малых функций 
- бесконечно малой функцией по первому свойству бесконечно малых функций, то по теореме 1.4 
.
Теорема 1.6. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т. е. 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существуют пределы 
и
. По теореме 1.3 
, 
, где 
- постоянные величины, 
- бесконечно малые функции при . Тогда 
.
Так как сумма 
является постоянной величиной, а 
является бесконечно малой функцией по свойствам 1 и 2 бесконечно малых функций, то по теореме 1.4
.
Следствие 1. Постоянную величину можно выносить за знак предела, т.е.
.
Следствие 2. Предел степени функции равен степени предела функции, т. е. 
.
|
|
|
Теорема 1.7. Предел частного функций равен частному пределов функций, если предел функции, стоящей в знаменателе, отличен от нуля, т. е.
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть , , 
.
На основании теоремы 1.3 имеем , .
Найдем разность функции 
и постоянной 
.
.
Согласно свойствам бесконечно малых функций данная разность является бесконечно малой функцией, следовательно, по теореме 1.4 предел функции равняется постоянной , т. е. 
.
