Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций

Определение бесконечно малой функции. Функция a(x) называется бесконечно малой функцией при , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такое положительное число d, зависящее от e, что для любого x, принадлежащего d-окрестности a(x) находится в e-окрестности начала координат a(x)Î , т.е. .

В краткой записи на языке «e-d» данное определение имеет вид

Ни какое малое число (например, и т. д.) не является бесконечно малой величиной, кроме числа .

Определение бесконечно большой функции. Функция называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большого положительного числа N существует такое положительное число , зависящее от N, что если x принадлежит d-окрестности числа (), то абсолютная величина значения функции больше числа N (), т.е. .

Иначе, можно кратко записать

Теорема 1.2. Функция, обратная по величине к бесконечно малой функции является бесконечно большой и, наоборот, функция, обратная по величине к бесконечно большой, является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть a(x) бесконечно малая функция, т. е. . Докажем, что является бесконечно большой, т. е. . Пусть N произвольно выбранное сколь угодно большое положительное число. Так как , то для любого e, в том числе и для >0, существует такая d-окрестность , что " , т. е. . Однако, равносильно . Следовательно, для значений х, принадлежащих таким образом выбранной окрестности , функция по абсолютной величине больше произвольно выбранного сколь угодно большого числа N, а это означает, что .

2. Пусть . Докажем, что является бесконечно малой функцией, т.е. . Так как , то для любого N, в том числе и для >0, где e произвольно выбранное сколь угодно малое положительное число, существует такая d-окрестность , что " . Однако, . Следовательно, для значений х, принадлежащих таким образом выбранной окрестности , функция по абсолютной величине меньше произвольно выбранного числа e, а это означает, что .