Свойства бесконечно малых функций

Свойство 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть бесконечно малые функции при .

По определению для этих бесконечно малых функций запишем:

;

;

………………………………………………………………………………………..

.

Если принять , то имеет место неравенство:

,

т. е. сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Свойство 2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a(х) бесконечно малая функция, т. е. , а функция f (x) в окрестности точки ограничена, т. е. , где . Так как - бесконечно малая функция, то как бы мало ни было число e, в том числе и равное , существует такая d-окрестность , что .

Поэтому .

Следствие 1. Произведение бесконечно малой функции на постоянную величину С является бесконечно малой функцией, т. е. .

Следствие 2. Произведение бесконечно малых функций и является бесконечно малой функцией.

Свойство 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию , предел которой отличен от нуля () является бесконечно малой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a(x) бесконечно малая функция, т. е.

и . Докажем, что .

Так как , то существует такая d-окрестность , что , а следовательно . Это значит, что в d-окрестности точки функция ограничена. По свойству 2 произведение бесконечно малой a(x) на ограниченную функцию является бесконечно малой, т. е. .