Правило знаков для внутреннего крутящего момента

Положительным направлением крутящего момента, расположенного в сечении, считается направление момента против часовой стрелки.

Для нахождения касательного напряжения τ_ρ в любой точке поперечного сечения вала, находящийся на расстоянии ρ от центра (см. рис. 8) справедлива следующая формула:

τ_ρ= (29)

Рис.10

Условие жесткости при кручении имеет вид: , где [ ] –допускаемый угол имеет размерность рад/м в данной формуле.

При расчетах на жесткость находят максимальный относительный угол закручивания: (30)

и сравнивают его с допускаемым [ ]:

(31)

Чтобы перейти к размерности град/м условие жесткости должно иметь следующий вид:

, (32)

где [ ] - относительный угол закручивания имеет размерность град/м, величина лежит в пределах от 0,25 град/м до 1 град/м и зависит от назначения вала.

Величина-G I_ρ (произведение модуля упругости второго рода G на полярный момент инерции площади поперечного сечения I_ρ)- называется жесткостью сечения вала при кручении и показывает влияние материала и геометрического размера сечения вала на получаемую деформацию.

Угол закручивания круглого стержня в пределах упругих деформаций рассчитывают по следующей формуле:

(33)

где М_кр - крутящий момент,

ℓ - длина вала,

G - модуль сдвига

I_ρ- полярный момент инерции площади поперечного сечения сплошного стержня диаметром d,

- полярный момент инерции трубчатого стержня с внутренним диаметром и наружным диаметром ,

G - жесткость сечения стержня при кручении, кГ (МПа ).

Чтобы получить формулу (29) для определения касательного напряжения τ в любой точке сечения стержня и формулу (30)для определения относительного угла закручивания круглого стержня , необходимо рассмотреть некоторый участок вала длиной (см. рис. 9).

Рис. 11

Вал подвержен действию некоторого скручивающего момента М_к, вызывающего внутренний крутящий момент М_кр

Пусть угол поворота одного из сечений m-m выделенного элемента вала будет , тогда угол поворота другого сечения n-n элементарного участка будет , т. е. угол закручивания участка стержня длиной будет . Следовательно, если до деформации радиус сечения m-m и радиус сечения n-n находились в одной диаметральной плоскости, то после деформации кручения радиус займёт положение , составляющее угол с его положением до деформации. Образующая после деформации займёт некоторое новое положение под углом к её первоначальному положению .

Угол между образующими и представляет cобой не что иное как относительный сдвиг, или угол сдвига:

tg .

Учитывая, что = , а = , угол сдвига можно представить в виде

(34)

Величина , как уже известно (см. пункт 3 основных гипотез, принятых при кручении), является относительным (погонным) углом закручивания и обозначается через . Учитывая это формулу (33)можно записать так:

. (35)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи, устанавливающую связь между напряжением и деформацией. Поскольку элемент испытывает чистый сдвиг, то, учитывая выражение (10) согласно формуле (1) получим:

. (36)

Так как при закручивании поперечные сечения вала остаются плоскими, а радиусы прямыми (см. пункт 1 гипотез, принятых при кручении), то выражения для угла сдвига и касательного напряжения в сечении на расстоянии от центра его можно представить формулами, аналогичными формулам (35)и (36):

; (37)

. (38)

Формула (37) показывает, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию точек от центра сечения (см. рис. 10). Очевидно, максимальные напряжения будут у поверхности стержня, при . Таким образом, выражение (38)можно переписать в виде:

Так как М_кр будет единственным усилием в сечении вала, представляющим собой суммарный момент от касательных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения:

(39)

Подставляя выражение (38) для касательного напряжения в уравнение (39), будем иметь:

Отсюда получим формулу для определения относительного угла закручивания круглого стержня (см. формулу (30)), указанную ранее:

(40 )

Зная выражение ( 24)относительного угла закручивания, можно записать формулу для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии :

. (41)

Если в пределах цилиндрического участка стержня длиною крутящие моменты в сечениях не изменяются, то

(42)

Формулу ( 42 ), устанавливающую связь между силовым фактором при кручении (М_кр) и соответствующей деформацией кручения (углом ), часто называют законом Гука при кручении.

Для определения касательного напряжения в любой точке сечения стержня достаточно в формулу (38)подставить выражение для по формуле (40). Тогда:

(43)

Формула (43) аналогична формуле (29), что и требовалось доказать.

Если в стержне выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол α и воспользоваться формулами, связывающими нормальные напряжения и касательные напряжения приложенные к исходным площадкам под углом α: =τ∙sin2α и =τ∙cos2α. При α=0⁰ и α=90⁰ напряжения и принимают значения, соответствующие исходным площадкам, т. е. =0, а = . При α= 45⁰ касательные напряжения =0, а нормальные напряжения = .

Рис. 12

Касательные напряжения в любой точке поперечного сечения при упругом кручении можно определить по формуле:

τ_{ρ =} ,

где ρ - расстояние от центра сечения до точки, в которой определяется касательное напряжение.

Формула показывает, что напряжения в плоскости сечения вала распределены неравномерно и в зависимости от радиуса изменяются по линейному закону от нуля в центре сечения, до максимума на его поверхности (см. рис. 10).

Известно, что касательные напряжения в наклонных площадках определяются по формуле: =τ∙cos2α. Вычислим значение касательного напряжения на площадке, расположенной под углом 90⁰ к наклонной.

Тогда .

Значит .

Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены навстречу друг другу.

Рис. 13

В силу закона парности действия касательных напряжений в осевых (продольных) сечениях также возникнут касательные напряжения. Таким образом, при кручении касательные напряжения действуют в поперечных и продольных сечениях вала, направленные от ребра или к ребру (см. рис. 12, 13).

При кручении материал вала находится в состоянии чистого сдвига, поэтому в сечениях, наклоненных под углом 45⁰ к граням, на которых действуют касательные напряжения, будут действовать только нормальные напряжения, численно равные касательным. Таким образом, чистый сдвиг

может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (см. рис. 12 и рис. 14).

Рис. 14

Характер разрушения вала будет зависеть от способности материала сопротивляться касательным и нормальным напряжениям.

Если материал сопротивляется сдвигу хуже, чем растяжению (сталь), то образец разрушается по сечению, нормальному к его оси (см. рис. 15).

Если на образце начертить продольную, прямую линию, то после разрушения линия будет винтовой. Количество витков будет равно количеству полных углов закручивания. Полный угол закручивания равен .

Если же материал сопротивляется растяжению хуже, чем сдвигу (чугун), то трещины при кручении пойдут по винтовым линиям, касательные к которым образуют угол 45⁰ с осью стержня (см. рис 16).