А) Критерий проверки достаточных условий экстремума

Пусть А– симметрическая матрица порядка nxn. Тогда

1) Для того чтобы матрица Гессе G(x*) была положительно определена (G(x*) > 0) и точка x* являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров были строго положительны:

M₁ > 0, M₂ > 0,…, M_n > 0. (4.8)

2) Для того чтобы матрица Гессе G(x*) была отрицательно определена (G(x*) < 0) и точка x* являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного:

M₁ < 0, M₂ > 0, M₃ < 0,…, (-1)ⁿ M_n > 0. (4.9)

Б) Критерий проверки необходимых условий экстремума второго

Порядка

1) Для того чтобы матрица Гессе G(x*) была положительно полуопределенной (G(x*) ³ 0) и точка x* может быть являлась точкой локального минимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры определителя матрицы Гессе были неотрицательны.

2) Для того чтобы матрица Гессе G(x*) была отрицательно полуопределенной (G(x*) £ 0) и точка x* может быть являлась точкой локального максимума, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны, а все главные миноры нечетного порядка – неположительны.