Пример 4.7

f (x) = x ₁⁴+ x ₂⁴- x ₁²-2 x ₁ x ₂- x ₂² →extr.

Решение. Запишем необходимое условие экстремума I порядка:

Решая эту систему уравнений, находим стационарные точки x ¹=(x ₁, x ₂) = (1,1), х ² = (-1,-1), х ³ = (0,0). Для проверки условий второго порядка выписываем матрицу вторых производных:

= =

, .

Матрица по критерию Сильвестра положительно определена. По достаточному условию локального экстремума функции нескольких переменных точки (1,1) и (-1,-1) доставляют локальный минимум функции f.

Поскольку f (x)= =+ , то по следствию из теоремы Вейерштрасса она достигает своего абсолютного минимума. Следовательно, (1,1), (-1,-1) absmin, S _min = f (1,1) = f (-1,-1) = -2.

Матрица по критерию Сильвестра не является ни положительно, ни отрицательно определенной. Она является неположительно определенной матрицей (А ≤ 0) и не является неотрицательно определенной матрицей (A < 0). Следовательно, не выполняется необходимое условие локального минимума. Поэтому х ³ = (0,0) locmin f. Поскольку

f (h,- h) = 2 h ⁴ > 0 = f (x ³)

при малых h ≠0, то х ³ locmax f. Очевидно, что f _max = + .