Теорема Вейерштрасса

Сформулированная выше задача оптимизации (4.1) имеет решение при любых целевых функциях и допустимых множествах. Существуют задачи, в которых невозможно найти оптимальную точку и оптимальное значение. Например, не существует точек минимума у функции одной переменной ¦ на множестве Х в случаях изображённых на рис.4.7.

Х =[ a, b) Х =[ a,+¥) Х =[ a, b ]

Рис. 4.7. Графики функций, не имеющие минимума

В первом случае точка минимума не существует, поскольку множество Х не замкнутое. Во втором случае – вследствие неограниченности Х. В третьем случае минимум не достигается из-за того, что функция f не является непрерывной.

Итак, при изучении задач оптимизации в первую очередь возникает вопрос о существовании решения. В этом случае имеет место, следующее утверждение, которое называют теоремой Вейерштрасса.

Теорема 4.5. Пусть Х – компакт в (замкнутое ограниченное множество), f – непрерывная функция на Х. Тогда точка глобального минимума функции f на Х (глобальное решение задачи (4.1)) существует.

В дальнейшем окажется полезной и несколько иная форма данной теоремы.

Теорема 4.6. Пусть Х – замкнутое множество в , ¦ – непрерывная функция на Х, причём существует такая точка х ’ÎХ, что множество вида N(x ’)={ x Î Х | ¦(x)£¦(x ’)} ограничено. Тогда точка глобального минимума функции ¦ на Х существует (рис. 4.8)

Следствие:

Если функция ¦ (х) непрерывна на и , то ¦(x) достигает своего абсолютного минимума (наименьшего значения) на любом замкнутом подмножестве .