double arrow

Второй способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе)


Матрица G(х) размерностью(nxn) считается положительно определенной, если все ее собственные значения m1, m2,…, mn положительны, т.е. mj > 0 для всех j = 1, 2,…, n.

Матрица G(х) считается отрицательно определенной, если собственные значения отрицательны, т.е. mj < 0 для всех j = 1, 2,…, n.

Если среди собственных значений G встречаются и положительные и отрицательные, то матрица является знакопеременной, а исследуемая функция – невыпуклой.

Для определения собственных значений необходимо решить характеристическое уравнение:

,

где I– квадратная единичная матрица; det – знак определителя.

Матрица отличается от матрицы Гессе тем, что по диагонали располагаются члены вида .

Так для двухмерной функции f(x1, x2)характеристическое уравнение будет иметь вид:

(4.10)

Собствееные значения m1 и m2есть корни обыкновенного квадратного уравнения m2 + bm + c = 0, образуются после раскрытия определителя.

Для примера возьмем функции двух переменных:

f(x)= 2 – 2x1 –2x2 +x12+x22 x1 x2

Координаты экстремальной точки x* определяются решением системы уравнений

и равны x1* = 2, x2* = 2

Гессиан . После решения характеристического уравнения , т.е. квадратного уравнения (2 – m)2 – 1 = 0 получены собственные значения m1 = 3, m2 = 1, т.е. матрица G является положительно определенной. Следовательно, функция f(x) является выпуклой и в экстремальной точке х* = (2,2) принимает минимальное значение f(x*) = –2.

Оба способа проверки достаточных и необходимых условий экстремума второго порядка приведены в табл.4.2.

Пример 4.4. Найти экстремум функции на множестве Е2.

Решение.1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

;

В результате решения системы получаем стационарную точку x* = (0,0).

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.

Первый способ:Матрица Гессе имеет вид .Так как М1 = 2 > 0, , то в точке x* локальный минимум (строка 1 в табл.4.2).

Второй способ:Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (4.10):

Отсюда и . Так как все собственные значения положительны, то в точке x* локальный минимум (строка 1 в табл. 4.2). Из примера 3.3 следует, что функция является строго выпуклой на множестве Е2. Поэтому точка локального минимума является и точкой глобального минимума (согласно п.3, утверждение 3.1).

3. Вычислим значение функции в точке глобального минимума: f(x*) = 0.

Пример 4.5. Найти экстремум функции на множестве Е2.

Решение.1. Запишем необходимые условия первого порядка:

; .

В результате решения системы получаем стационарную точку x* = (0,0).

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка.

Первый способ: Матрица Гессе имеет вид . Так как М1 = 2 > 0, , то достаточныое условия экстремума не выполняются (строки 1 и 2 в табл.4.2). Проверим выполнение необходимых условий второго порядка.




Главные миноры первого порядка (m = 1) получаются из M2 в результате вычеркивания n – m =2 – 1 = 1 строк и столбцов, с одинаковыми номерами: – 2, 2. Главный минор второго порядка (m = 2) получается из M2 в результате вычеркивания n – m= 0 строк и столбцов, т.е. совпадает с M2: -4. Отсюда следует, что необходимые условия экстремума второго порядка не выполняются (строки 3 и 4 в табл.4.2). Так как матрица Гессе не является нулевой, то можно сделать вывод о том, что в точке х* нет экстремума (строка 6 в табл.2.1).

Таблица 4.2

Критерий проверки достаточных и необходимых условий второго порядка в задаче поиска безусловного экстремума

№ п/п   G(x*)   Условия   Первый способ   Второй способ Тип стационарной точки
>0 Достаточные условия экстремума M1 > 0, M2 > 0,…, Mn > 0 μ1 > 0, μ2 > 0,…,μn > 0 Локальный минимум
<0 Достаточные условия экстремума M1 < 0, M2 > 0, M3 < 0,…, (-1)n Mn > 0 μ1 < 0, μ2 < 0,…,μn > 0 Локальный максимум
³0 Необходимые условия экстемума второго порядка Все главные миноры определителя матрицы G(x*) неотрицательны μ1 ³ 0, μ2 ³ 0,…, μn ³ 0 Может быть локальный минимум, требуется дополнительное исследование
£0 Необходимые условия экстемума второго порядка Все главные миноры четного порядка неотрицательны, а нечетного порядка неположительны μ1 £ 0, μ2 £ 0,…, μn £ 0 Может быть локальный максимум, требуется дополнительное исследование
=0 Необходимые условия экстемума второго порядка Матрица Гессе состоит из нулевых элементов μ1 = 0, μ2 = 0,…, μn = 0 Требуется дополнительное исследование
>0, <0 Необходимые условия экстемума второго порядка Не выполняются условия п.1…5 μn имеют разные знаки Нет экстремума



Второй способ: Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (4.10):

Отсюда m1 = 2 > 0, m2 = –2 < 0, т.е. собственные значения имеют разные знаки. Поэтому точка х* не является точкой минимума или максимума (строка 6 в табл.4.2), а является седловой точкой (аналогична изображенной на рис.4.6).

3. Так как экстремум не достигается ни в одной точке, не вычисляется.

Пример 4.6 Проверить, является ли выпуклой квадратичная функция

.

Решение.Найдем матрицу Гессе

.

Угловые (главные) миноры этой матрицы положительны:

М1 = 6 > 0, .

Поэтому, согласно критерию Сильвестра, матрица G(x) положительно определенная, и, следовательно, функция строго выпуклая.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: