Теорема Вариньона о моменте равнодействующей пространственной системы

Эта теорема связана с моментом равнодействующей пространственной сходящейся системы сил относительно произвольной точки. Ее сформулировал и смог доказать великий французский ученый Пьер Вариньон (1654-1722).

Теорема гласит следующим образом:

Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил относительно произвольной точки равен векторной сумме моментов всех слагаемых сил относительно этой же точки.

Действительно, если совокупность всех сил, действующих на абсолютно твердое тело сходится в некоторой точке О, то ее равнодействующая находится как геометрическая сумма этих сил, т.е.:

= =

и приложена в той же точке О (рис.4.3.).

Рис.4.3.

Возьмем произвольную точку А и обозначим через вектор-радиус точки О относительно точки А. Тогда по определению момента равнодействующей находим:

=( х )+( х )+…+( х ) =

= ()+ ()+…+ ()= . (4.21)

Подчеркнем, что теорема Вариньона верна только для сходящейся системы сил и для совокупности сил с параллельными друг другу линиями действия.

Если все силы лежат на некоторой плоскости и составляют плоскую систему сходящихся сил, то вместо геометрической суммы моментов берется алгебраическая сумма моментов этих сил, т.е.

M₀()= (4.22)

Следует заметить, что формулы (4.21) и (4.22) применяются во многих задачах инженерных дисциплин.

Вопросы для самопроверки

1. Приведите силу, параллельно самой себе, к заданному центру.

2. Как можно сформулировать теорему Пуансо?

3. Что такое главный вектор?

4. Что такое главный момент?

5. Чему равна величина главного вектора?

6. Как находится величина главного момента?

7. Как находится направление главного вектора?

8. Определите направление главного момента системы сил.

9. Какой угол между собой составляет главный вектор и главный моменты системы сил?

10. Как находятся проекции главного вектора на оси координат x, y, z?

11. Определите проекции главного момента на оси координат x, y, z.

12. Какие возможные частные случаи вы знаете при приведении системы сил к заданному центру?

13. Как в векторной форме выглядят условия равновесия произвольной пространственной системы сил?

14. Как записываются они в координатной форме?

15. Какие частные случаи условия равновесия вы знаете?

16. Как можно сформулировать теорему Вариньона?

ЗАДАЧИ:

I. К вершинам куба со стороной а приложены силы F₁= F₂= 5 . Приведите эти силы к простейшему виду (рис.4.4).

Рис.4.4.

Решение: Оси декартовых координат x,y,z направим как на рис.4.3. Тогда проекции главного вектора на эти оси, согласно (4.4) будут:

R_x= = -F₃+ F₄cos 45⁰= 0

R_y= = -F₄cos45⁰= -10 H.

R_z= = F₁+ F₂= 10 H.

R= = 20 H.

Так как R_x= 0, то лежит на плоскости YOZ. Через направляющие косинусы (4.6) находится направление главного вектора:

cos()= =0, =90⁰,

cos()= =- , =135⁰,

cos()= = , =45⁰.

Аналогичным образом формулу (4.10), применив к этой задаче, находим главный моменты системы сил.

M_x= = F₂a + F₄acos 45⁰= 15 a Н×м

M_y= = -F₁a - F₂a + F₄acos 45⁰= 0,

M_z= = F₃a - F₄acos 45⁰= 0.

Тогда согласно (4.11) находим:

M₀= =15 a Н × м.

Так как M_y= 0, M_z= 0, то главный момент приложенных сил к кубу будет напралвен по оси Х.

Следовательно при приведении указанных сил к центру О система заданных сил сводится к главному вектору R₀=20 Н, направления которого определяются углами = 90⁰, =135⁰, =45⁰ и главному моменту M₀= 15 a нм, направленному по оси Х (рис.4.5), т.е. ^ . В этом случае система сил приводится к равнодействующей , приложенной в точке А, где

OA = d = = .

Но = R₀ и || R₀.

Рис.4.5.

II. Определить опорные силы реакции для конструкции и силу , которая держит конструкции в равновесии, показанной на рис.4.6. При этом даны: Q = 3000 H; G = 2000 H; a = 0,6 м; b = 0,2 м; с = 0,4 м; r = 0,05 м; a = 30⁰; b = 60⁰.

Рис. 4.6.

Решение. На рисунке приведены все активные и пассивные силы. Причем через , ? , соответственно обозначен силы реакции в цилиндрических подшипниках А и В. Тогда согласно уравнений равновесия (4.18)