Лекция 4 Динамика твердого тела

План:

1. Неинерциальные системы отсчета.

2. Понятие абсолютно твердого тела. Момент силы и момент инерции твердого тела. Момент импульса. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера.

Тезисы

1. Неинерциальные системы отсче­та – системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением. В неинерциальных системах законы Ньютона несправедливы. Если же учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета. Си­лы инерции – силы, обусловленные ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы отсчета. Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета

Произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции) , где а – ускорение тела в инерциальной системе отсчета. Есть три возможных случая проявления сил инерции: силы инерции при ускоренном поступательном дви­жении системы отсчета; силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вра­щающейся системе отсчета; силы инер­ции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

1) Силы инерции при ускоренном поступа­тельном движении системы отсчета (рис. 40) Пусть на тележке к штативу подвешен на нити шарик массой т. Если тележку привести в поступательное движение с некоторым ускорением а₀, то нить начнет откло­няться от вертикали назад до такого угла , пока результирующая сила не обеспе­чит ускорение шарика, равное а₀. Таким обра­зом, результирующая сила F направлена в сто­рону ускорения тележки а₀ и равна , откуда (чем больше ускорение тележки, тем больше угол отклонения нити). Таким образом, на шарик действует сила инерции .

2)Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета (рис. 41) Пусть диск равномерно вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установ­лены маятники, на нитях подвешены шарики массой m. При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис. 41).

В инерциальной системе отсчета, связан­ной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окруж­ности радиусом R (расстояние от точки крепле­ния маятника к диску до оси вращения). Следо­вательно, на него действует сила , направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействую­щей силы тяжести Р и силы натяжения нити Т: . Когда движение шарика установится, то , откуда , т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояниеот шари­ка до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения.

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается рав­ной и противоположно направленной ей силой F_и, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила F_ц, называемая центробеж­ной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна . Центро­бежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения и системы отсчета и радиу­са R, но не зависит от скорости тел относитель­но вращающихся систем отсчета.

3)Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета (рис. 42) Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью вдоль радиуса ОА равномерно вращающегося диска. Если диск не вращается, то шарик, направлен­ный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указан­ном стрелкой, то шарик катится по кривой 0В (рис. 42, а), причем его скоростьотноситель­но диска изменяет свое направление. Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, исполь­зуем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без тре­ния равномерно и прямолинейно со скоростью v' (рис. 42,б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относи­тельно диска шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравнове­шивается приложенной к шарику силой инер­ции F_K, перпендикулярной скорости v'. Эта си­ла называется кориолисовой силой инерции, или силой Кориолиса . Вектор f_k перпендикулярен векторам скорости тела и угловой скорости вращения w системы отсчета в соответствии с правилом правого винта. Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся систе­мы отсчета.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета В неинерциальных системах отсчета третий закон Ньютона, а также законы сохранения импуль­са, энергии и момента импульса не выполняются!!!

2.Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между двумя точками которого при любых условиях остается постоянным. Момент силы F относительно неподвиж­ной точки О - физическая вели­чина, определяемая векторным произведе­нием радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25): . Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательно­го движения правого винта при его враще­нии от г к F.

Модуль вектора момента силы , где a — угол между г и F; rsina = l — кратчайшее расстояние между линией дей­ствия силы и точкой О - плечо силы.

Момент силы относительно непод­вижной оси z - скалярная вели­чина М_z, равная проекции на эту ось век­тора М момента силы, определенного от­носительно произвольной точки О данной оси Z (рис.26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси. Если ось Z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью

Уравнение динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно непод­вижной оси . Если ось враще­ния совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то , где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Момент инерции тела отно­сительно оси вращения - физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси Момент инерции – величина аддитивная; момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по всему объему тела.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С тела, сло­женному с произведением массы mтела на квадрат расстояния а между осями

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела , где - момент инерции тела относительно оси Z.

Кинетическая энергия тела при его плоском движении складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела