2015-02-27
511
Постановка задачи: численно решить краевую задачу для волнового уравнения
(1)
с граничными условиями первого рода
(2)
и начальными условиями
(3)
(4)
аппроксимируя задачу на сетке
с пространственным и временным шагами, равными соответственно 
, 
, сеточной функцией 
.
Расчеты вести по явной схеме
(5)
которая является устойчивой лишь при выполнении условия
(6)
Здесь порядок аппроксимации второго начального условия равен 1, в то же время схема (5) имеет второй порядок точности. Не трудно видеть, что порядок можно повысить:
(7)
Для задачи (1)–(4) использовать так же неявную схему:
(8)
которая абсолютно устойчива, но приводит к необходимости преобразовывать её к системе линейных алгебаических уравнений с трехдиагональной матрицей и использовать для решения метод прогонки. Провести расчеты по неявной схеме (8) после преобразования разностных уравнений к стандартному трехточечному виду (см. лабораторную работу №1.6). Шаблоны разностных схем показаны на рис. 1. Построить графики численных и аналитического решений задачи (1)–(4).
|
|
|
|
Рис.1. Шаблоны явной (слева) и неявной (справа) схем
Дополнительные вопросы:
1. Вывести формулы (5), (8), используя подходящие аппроксимации производных для задачи (1)–(4).
2. Доказать оценку (6) и формулу (7).
3. В чем преимущества и недостатки явной и неявной конечно-разностных схем (5), (8) для задачи (1)–(4)?
