Уравнения параболического типа

Постановка задачи: численно решить краевую задачу для уравнения теплопроводности

(1)

с граничными условиями первого рода

(2)

и начальным условием

(3)

аппроксимируя задачу на сетке

с пространственным и временным шагами, равными соответственно , , сеточной функцией .

Расчеты вести по явной схеме

(4)

которая является устойчивой лишь при выполнении условия

(5)

Задачу (1)–(3) аппроксимировать также по неявной схеме:

(6)

которая абсолютно устойчива, но приводит к необходимости преобразовывать её к системе линейных алгебаических уравнений с трехдиагональной матрицей и использовать для решения метод прогонки. Провести расчеты по неявной схеме (6) после преобразования разностных уравнений к стандартному трехточечному виду (см. лабораторную работу №1.6). Шаблоны разностных схем показаны на рис. 1. Построить графики численных и аналитического решений задачи (1)–(3).

Рис.1. Шаблоны явной (слева) и неявной (справа) схем

Дополнительные вопросы:

1. Вывести формулы (4), (5), используя подходящие аппроксимации производных для задачи (1)–(3).

2. В чем преимущества и недостатки явной и неявной конечно-разностных схем (4), (6) для задачи (1)–(3)?

3. Найти численное решение задачи Колмогорова-Петровского-Пискунова

с использованием явной конечно-разностной схемы.