Формула трапеций

(4)

Формула Симпсона. Число разбиений здесь четно.

(5)

Для достижения заданной точности использовать метод двойного пересчета: после вычисления интеграла по формуле (4) или (5) с числом разбиений , рассчитывается с двойным количеством разбиений и проверяется неравенство

(6)

Если оценка (6) не выполняется, то число разбиений снова удваивают, до тех пор, пока неравенство не станет истинным. Для метода трапеций , для формулы Симпсона

Интегрирование методом Монте-Карло. Пусть значения подынтегральной функции заключены на отрезке (например можно взять , ). Вместо равномерного разбиения (2) построим точки

(7)

где — случайное число, равномерно распределённое на сегменте , — случайное число, равномерно распределённое на отрезке . Тогда, при достаточно большом ,

(8)

где — количество точек (7), лежащих ниже подынтегральной кривой, — площадь прямоугольника .

Дополнительные вопросы:

1. Вывести формулы трапеций и Симсона, дать их геометрическую интерпретацию. Каков порядок точности формул (4), (5)?

2. Обосновать метод двойного пересчета, вывести неравенство (6).

3. Обосновать метод Монте-Карло, дать его геометрическую интерпретацию.

4. Обобщить метод Монте-Карло на случай двойных и, вообще, кратных интегралов.