Постановка задачи: Пусть задана сеточная функция
(1)
Точки называют узлами. Требуется найти (задать аналитически) такую функцию , чтобы её уклонение в узлах от соответствующих значений было минимальным. В программной реализации следует предусмотреть графический вывод точек и кривой .
Функцию называемую аппроксимирующей для сеточной функции (1), выбирать, используя методы:
Метод наименьших квадратов. Аппроксимирующая функция — многочлен степени
(1)
коэффициенты которого определяются из условия минимума суммы квадратов невязок:
Необходимыми условиями экстремума являются
(2)
Система (2) — система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных вида
(3)
где обозначено
Систему уравнений (3) решить одним из подходящих методов (см. лабораторную работу №1.3).
Аппроксимация кривыми Безье. Пусть количество узлов сетки (1) кратно трём, Кубические кривые Безье задаются векторным параметрическим уравнением:
(4)
где и определяются четырьмя точками. Для гладкого сопряжения кривых Безье вначале после каждой третьей точки исходной сетки (1) вставляется дополнительная точка
|
|
а затем по всем точкам строятся кривые по формуле (4).
Дополнительные вопросы:
1. В чем отличие аппроксимации от интерполяции?
2. Если значения сеточной функции имеют погрешность , какой точности следует добиваться при аппроксимации по методу наименьших квадратов и как это сделать?
3. Перечислите основные свойства и области применения кривых Безье.