1. Взаимное расположение двух плоскостей.
Выяснить взаимное расположение двух плоскостей позволяет следующая теорема:
Теорема 1. Пусть в аффинной системе координат плоскости и заданы общими уравнениями:
,
.
или ;
(коэффициенты при х, у, z пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны);
.
2. Взаимное расположение трех плоскостей.
Вопрос о взаимном расположении трех плоскостей , и сводится к исследованию вопроса о взаимном расположении трех пар плоскостей: и , и , и .
Возможны восемь случаев взаимного расположения этих плоскостей:
1) (рис. 70, а);
2) (рис. 70, б);
3) (рис. 70, в);
4) (следовательно, ) (рис. 70, г);
5) (следовательно, ) (рис. 70, д);
6) (рис. 70, е);
7) (рис. 70, ж);
8) (рис. 70, з).
3. Геометрический смысл знака многочлена .
Теорема 2. Если в аффинной системе координат плоскость задана уравнением , то два полупространства, на которые эта плоскость разбивает пространство, определяются условиями
и .
4. Пучок и связка плоскостей.
Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую . Прямая называется осью этого пучка.
|
|
Пусть . Тогда уравнение пучка плоскостей с осью имеет вид:
, где не равны нулю одновременно.
Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку . Точка называется центром связки.
Пусть . Тогда уравнение связки плоскостей имеет вид:
, где и не равны нулю одновременно.