Основные аффинные задачи на прямые и плоскости

1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Возможны четыре случая взаимного расположения двух прямых и в пространстве: 1) ; 2) ; 3) ; 4) совпадает с .

Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором , - точкой и направляющим вектором . Тогда взаимное расположение двух прямых и можно определить по векторам и .

Замечание. Прямые и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны, т.е. смешанное произведение .

Учитывая сделанное замечание, выведем условия взаимного расположения двух прямых в пространстве.

1) , если не существует плоскости, содержащей одновременно обе эти прямые (рис. 76). Следовательно,

.

2) Если прямые и пересекаются, т.е. , то они лежат в одной плоскости и их направляющие векторы неколлинеарны (рис. 77). Следовательно,

3) (рис. 78).

4) (рис. 79).

2. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: 1) ( пересекает плоскость в некоторой точке); 2) ; 3) .

Пусть в аффинной системе координат прямая задана точкой и направляющим вектором , а плоскость - общим уравнением .

1) (по лемме о параллельности вектора и плоскости) (рис. 80). Итак,

.

Чтобы найти координаты точки пересечения и , надо решить систему уравнений прямой и плоскости .

2) и (рис. 81), т.е.

3) и (рис. 82), т.е.

3. Связка прямых в пространстве.

Связкой прямых в пространстве с центром в точке называется множество всех прямых, проходящих через точку . Параметрическое уравнение связки прямых с центром имеет вид:

где - произвольные действительные числа, не равные нулю одновременно.

4. Связка прямых и плоскостей.

Объединение связки прямых в пространстве с центром и связки плоскостей в пространстве с центром называется связкой прямых и плоскостей с центром .

Каждые две (различные) плоскости связки пересекаются по прямой связки, и каждая прямая связки является осью пучка плоскостей связки. Следовательно, множество прямых, по которым пересекаются плоскости связки, есть связка прямых с центром .