Прохождение электрического тока в металлах связано с движением электронов под действием электрического поля. Согласно электронной теории электропроводности металлов закон Ома в дифференциальной форме имеет вид:
j = σ ∙ E, (2.16)
где j – плотность тока;
σ – удельная электропроводность;
E – напряженность электрического поля.
С другой стороны, плотность тока, как векторная величина, определяется зарядом носителей, их концентрацией и скоростью движения, обусловленного действием поля:
или j=enVд, (2.17)
где e – заряд электрона;
n – концентрация свободных электронов;
Vд – средняя скорость упорядоченного движения электронов под действием электрического поля напряженностью Е (дрейфовая скорость).
Если сравнить эти две формулы, то нетрудно заметить, что электропроводность определяется концентрацией носителей и их подвижностью. Действительно, из условия σE = enVд имеем:
, (2.18)
где – подвижность электронов.
Из предыдущих выражений можем записать:
(2.19)
где – падение напряжения на датчике;
|
|
l – длина датчика;
S – площадь поперечного сечения датчика.
Зная электропроводность и концентрацию, можно определить подвижность носителей, т.е. среднюю скорость движения электронов под действием единичной напряженности. Удельная электропроводность легко определяется опытным путем, а для определения концентрации необходимо знать ее связь с какой-то другой величиной, доступной экспериментальному определению. Такой величиной является постоянная Холла, которую можно вычислить на основании измерения ЭДС Холла.
Для установления связи постоянной Холла с концентрацией и ЭДС Холла рассмотрим сущность этого явления. На частицу с электрическим зарядом е, движущуюся в магнитном поле со скоростью V, направленной произвольным образом по отношению к вектору магнитной индукции B действует сила Лоренца. Если проводник с током поместить в магнитное поле, то под действием силы Лоренца носители тока будут отклоняться от первоначального направления движения, создавая избыточный заряд на соответствующей поверхности проводника. Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно к скорости движения заряда и играет роль центростремительной силы:
(2.20)
Явление Холла свойственно для всех твердых тел со свободными носителями, в том числе и для полупроводников. В полупроводниках носителями зарядов являются как электроны, так и дырки. Сила Лоренца, действующая на электроны и дырки при заданном направлении тока, имеет одно и то же направление. Поэтому в зависимости от концентрации электронов и дырок эффект Холла может быть значительным, а может и отсутствовать.
|
|
В полупроводнике прямоугольного сечения (рис.2.10) при наличии электрического поля напряженностью Е возникает электрический ток.
|
|
|
|
|
|
|
|
а) б)
Рис. 2.10. Возникновение эффекта Холла в электронном (а) и дырочном (б) полупроводниках
Носители заряда получают скорость направленного движения , которая для дырок совпадает с направлением поля, а для электронов направлена против поля.
При наложении магнитного поля на электроны и дырки действует сила Лоренца, которая не зависит от знака носителей заряда, а определяется только направлением электрического и магнитного полей:
. (2.21)
В результате действия электрического и магнитного полей электроны и дырки будут двигаться под углом φ к полю. При различной концентрации электронов и дырок на одной стороне образца будут накапливаться избыточные носители (основные носители), а на другой (противоположной) стороне будет их недостача. В результате этого возникает поперечное электрическое поле ЕН и разность потенциалов между точками, лежащими на противоположных сторонах образца и являющихся в электрическом отношении симметричными, при отсутствии магнитного поля (рис. 2.10).
Таким образом, эффект Холла в полупроводниках возникает вследствие того, что сила Лоренца искривляет путь зарядов при их движении от одного конца образца к другому. В результате этого вдоль той стороны полупроводника с электронной проводимостью, в сторону которой изгибаются траектории носителей, образуется избыток отрицательных зарядов, а на противоположной стороне будет нескомпенсированный положительный заряд.
Процесс накопления заряда продолжается до тех пор, пока действие поперечного электрического поля на заряды не уравновесит действие силы Лоренца.
|
|
Рис. 2.11. Поперечная разность потенциалов, обусловленная эффектом Холла
Тогда напряженность поперечного электрического поля и разность потенциалов могут быть выражены через индукцию магнитного поля и величину тока. Действительно, из
eVxB = eEy имеем Ey = VxB, (2.22)
где Vх , Vу – проекции скорости носителей.
Практически измеряется не напряженность Ey, а разность потенциалов (рис. 2.11);
Uy = U 1- U 2= Eyb = VxBb. (2.23)
Но так как jx = enVx и I = jx S = jx bd,
то , или
, (2.24)
где – постоянная Холла.
Зная величину тока, индукцию магнитного поля, толщину образца и измерив ЭДС Холла (Uy), можно вычислить константу Холла из формулы (2.24):
. (2.25)
После этого легко вычислить концентрацию основных носителей заряда в полупроводнике:
. (2.26)
В полупроводниках со смешанной проводимостью перенос тока осуществляется одновременно электронами и дырками, которые отклоняются в одну сторону. Поэтому эффект Холла у них меньше, а константа Холла определяется соотношением:
, (2.27)
где А – Холл – фактор (1 – 2), учитывающий распределение электронов по скоростям и механизм рассеяния носителей,
p и n – концентрация дырок и электронов.
При движении частиц в твердом теле необходимо учитывать рассеяния, нарушающие направленное движение частиц под действием полей. После каждого рассеяния частица будет двигаться по новой линии, характеризуемой новыми параметрами. В связи с этим вводится понятие "сильных" и "слабых" магнитных полей, которое зависит не только от величины индукции магнитного поля, но и от подвижности носителей заряда.
"Слабыми" называют магнитные поля, в которых радиус кривизны траектории электрона много больше длины его свободного пробега:
>> λ или τ << T.
где τ – время свободного пробега;
T – время одного оборота электрона.
Если ~ λ, то поле сильное и в промежутках между столкновениями электроны заворачиваются по окружности такого малого радиуса, что резко меняется траектория и, следовательно, механизм рассеяния электронов.
|
|
Таким образом, в "слабых" и "сильных" полях будет различной подвижность носителей, и константа Холла. Это можно обнаружить по зависимости RН, вычисленной из формулы (2.25) при одинаковых значениях тока, от величины индукции магнитного поля.