Решение. Рис.1.10 Для решения задачи применим метод Гаусса

Рис.1.10

Для решения задачи применим метод Гаусса. Из условия следует, что заряд, сообщенный листу стекла извне (его принято называть свободным зарядом) распределен в пространстве симметрично относительно плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно оси х (см. рис.1.8). Поэтому есть основание утверждать, что электрическое поле симметрично относительно этой плоскости. Кроме того, так как мы рассматриваем диэлектрик, находящийся в электрическом поле, то чтобы исключить рассмотрение влияния поляризационных зарядов диэлектрика, теорему Гаусса следует применять для вектора электрического смещения . Полагая, что точки А,В,С достаточно удалены от краев листа стекла, можно считать, что линии вектора в любой точке расположены параллельно оси х. Исходя из этого, будем выбирать гауссову поверхность в виде цилиндра, образующие которого параллельны оси х, а основания перпендикулярны к ней и расположены от плоскости симметрии на равном расстоянии.

Начало координат оси х расположим в точке А.

Разобьем пространство на две области:

1. . Поток вектора электрического смещения через выбранную поверхность

равен

Первый интеграл равен нулю, так как линии вектора не пересекают боковую поверхность цилиндра. Второй и третий интегралы равны по признаку симметрии.

Свободный заряд, попавший внутрь выбранной поверхности, равен

.

По теореме Гаусса

Рис.1.8

.

Отсюда внутри листа стекла.

Известно, что в том случае, когда диэлектрик полностью заполняет пространство между двумя эквипотенциальными поверхностями, связь между электрическим смещением и напряженностью поля выражается весьма просто:

.

Это же справедливо и для модулей векторов. Тогда напряженность электрического поля внутри стекла равна .

2. . Поток вектора электрического смещения через поверхность цилиндра, как и в предыдущем случае выражается формулой .

Свободный заряд, попавший внутрь гауссовой поверхности, в этом случае равен

.

По теореме Гаусса .

Тогда , а напряженность, соответственно , так как вне стекла e = 1. Таким образом, вне листа стекла поле является однородным, его напряженность не зависит от координат.

Рис.1.9

Рис.1.11

Теперь построим график зависимости

модуля вектора напряженности от координаты х (рис.1.9).

Отметим, что при переходе из стекла в воздух модуль напряженности скачком увеличивается в e раз.

Найдем теперь численные значения напряженности Е в точках А,В,С (рис.1.9).

1. Точка А: х = 0; Е_А = 0.

2. Точка В: х = d/4; .

3. Точка С: х = d/2; Е_С имеет два значения:

а) внутри стекла ;

б) вне стекла .

Ответ: Е_А = 0; Е_В = 80,7 В/м; Е_С1 = 161,4 В/м, Е_С2 = 1130 В/м.

Пример 5. Эбонитовый сплошной шар (e = 3) радиуса R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью r = 10 нКл/м³. Определить напряженность электрического поля в точках: 1) на расстоянии r₁ = 3 см от центра шара; 2) на поверхности шара; 3) на расстоянии r₃ = 10 см от центра шара. Построить график зависимости Е(r).