Решение. Ускорение электрона можно найти из второго закона Ньютона, но для этого надо знать силу, действующую на электрон

Ускорение электрона можно найти из второго закона Ньютона, но для этого надо знать силу, действующую на электрон. Сила, действующая на заряд, находящийся в электрическом поле, как известно, равна F = |q|E, значит, необходимо найти напряженность электрического поля между катодом и анодом. Так как катод представляет собой тонкую нить, воспользуемся формулой для напряженности поля, созданного тонкой заряженной нитью с линейной плотностью заряда τ.

, где r – расстояние от оси нити. Для нахождения τ воспользуемся связью между напряженностью и разностью потенциалов электростатического поля. В данном случае

.

напряженности поля равен .

Теперь по второму закону Ньютона .

Рассчитаем ускорение электрона, учитывая, что

Для нахождения скорости электрона воспользуемся связью работы и кинетической энергии. По теореме о кинетической энергии приращение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело: ΔW_к = A_{всех сил}. В этом случае на электрон действует только сила электрического поля, а начальная скорость электрона по условию мала, поэтому

,

где Δφ – разность потенциалов между катодом и точкой, в которой находится электрон. Отсюда .

Разность потенциалов найдем, используя связь напряженности поля и разности потенциалов:

И, наконец, рассчитаем скорость электрона

Ответ: а = 2,55·10¹⁵ м/с², v = 5,23·10⁶ м/с.

Пример 2. Электрон влетает в поле плоского конденсатора со скоростью v₀ = 1 Мм/с под углом α = 30^о к его пластинам. Длина пластин l = 5 см. Найти напряженность поля, при которой скорость электрона при вылете из конденсатора будет направлена параллельно его пластинам.

Решение

Поле плоского конденсатора является однородным, поэтому на электрон в этом поле будет действовать постоянная сила, а значит движение электрона будет равноускоренным. Для описания этого движения выберем начало координат в точке влета электрона, направим ось х вдоль пластин, а ось у – перпендикулярно им (рис.2.2). Тогда закон движения электрона примет вид . Скорость электрона при этом равна . Запишем эти уравнения в проекциях на выбранные оси координат:

Так как в точке вылета x = l, то , а так как электрон вылетает параллельно пластинам, то в точке вылета v_y = 0, тогда . Отсюда

.

По второму закону Ньютона , отсюда .

Тогда окончательно получаем

.

Вычислим напряженность поля:

Ответ: Е = 49,3 В/м.

Пример 3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком. Расстояние между пластинами d = 2 мм. На пластины подана разность потенциалов U₁ = 600 В. Если, отключив источник напряжения, вынуть диэлектрик из конденсатора, то разность потенциалов на пластинах возрастет до U₂ = 1800 В. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике σ_св и диэлектрическую восприимчивость κ диэлектрика.