2015-02-27
701
Метод заключается в использование свойств функций или построение графиков функций.
Задача 1. Решите уравнение 
.
Решение. Найдем область допустимых значений уравнения:
Решением данной системы будут 
. Рассмотрим два случая: 
и 
. Если , то 
и 
. В этом случае уравнение решений не имеет. Если же , то 
и уравнение принимает вид 
, откуда 
.
Ответ: .
Задача 2 Решите уравнение 
.
Решение. Оценим правую часть уравнения 
. Значит, 
и так как 
, то 
может принимать только значения 0, 1, 2.
Рассмотрим три случая.
1. Пусть 
. Тогда из равенства следует, что 
. Функция 
в точках 
не существует, т.е. при 
уравнение решений не имеет.
2. Пусть 
. Тогда 
, откуда 
и 
. Так как 
, то из множества решений уравнения подходит только 
.
3. Пусть 
. Тогда 
и решениями уравнения являются решения системы 
Решив второе уравнение системы, получим 
При данных значениях , что противоречит предположению. Следовательно, при уравнение решений не имеет.
Ответ: .
Задача 3. Решите уравнение 
.
Решение. Так как область значений функции 
отрезок [-1; 1], то рассмотрим следующие случаи:
1. Если целое число, то 
.
Так как дробная часть целых чисел равна 0, то 
и, следовательно, из значений 1, - 1 и 0 подходит только 0. 
.
2. Если 
, то 
и исходное уравнение примет вид: 
.
Но по предположению 
, значит, корней не существует.
3. Если , то 
По определению дробной части числа 
, и в этом случае уравнение примет вид 
.
Полученное значение принадлежит интервалу (-1; 1). Решив уравнение, получим 
.
Ответ: 
.
Задача 4. Решите уравнение 
.
Решение. Запишем уравнение в виде 
и построим графики функций 
и 
. Эти графики имеют четыре общие: 
Так как они лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют ее уравнению: 
, 
, 
, 
.
Решая полученные уравнения, находим абсциссы общих точек, которые и будут решениями уравнения.
Ответ: –0,25; 0,5; 1,25; 2.
Творческое задание: Сконструировать задачи с целой и дробной частью, решаемые применением функционально-графического метода.
