Пример (метод половинного деления)

Уточним корень уравнения на отрезке [3;4] методом половинного деления. Для демонстрации этого метода используем табличный процессор Exel (рис. 11). В столбце А вычисляются координаты середины отрезков, в столбце С – координаты другого конца отрезка, удовлетворяющего условию f(Ai)*f(Ci)<0, в столбце В вычисляется значение функции в середине отрезка. В столбце D проверяется условие окончания итераций – если длина отрезка меньше заданной точности – продолжать итерации, в противном случае записать в ячейку Dn – 0. Значение корня получается в ячейках Аn и Сn.

  A B C D
  Деление отрезка пополам
  0,001      
  Вычисление середины отрезка Вычисление функции Выбор левой либо правой половины Проверка условия окончания итераций
    =exp(A4)-3*A4^2+3    
  =(A3+C3)/2 =exp(B4*B5<0;A4;C4) =если(B4*B5<0;A4;C4) =если(abs(A5-C5)<(A2;0;abs(A5-C5))
  Строку 5 копировать до появления "0" в ячейке D(n)
 
N Значение корня 3,5498   Значение корня 3,5488  

Рис 11

В результате вычислений получим таблицу следующего вида (таблица 2).

Таблица 2

  A B C D
  Деление отрезка пополам
  0,001      
  Вычисление середины отрезка Вычисление функции Выбор левой либо правой точки Проверка условия и сходимость
    -3,914    
  3,5 -0,634   0,5
  3,75 3,333 3,5 0,25
n 3,5498 0,003 3,5488  

Пример (метод Ньютона)

Уточним 1 корень уравнения е^x-3*x^2+3=0 методом Ньютона на отрезке [-2, 1]. Найдем первую и вторую производные функции f(x)=e^x-3x^2+3:

f'(x)=e^x-6x

f''(x)=e^x-6.

Расчет можно произвести в электронных таблицах (рисунок 12):

- в ячейку A1 запишем значение правого конца отрезка;

- в ячейку A2 – значение левого:

- в ячейках В1:В2 вычисляются значения функции на концах отрезка;

- в ячейках С1: D2 – значения первой и второй производной;

- в ячейках E1:E2 проверяется неравенство f(x0) f*(x0) >0, если оно выполняется, то выбор начальной точки х0 верен;

- для начального приближения выберем точку х= -2 (f(-2)*f '' (-2)>0). Итерации производим в Excel (рисунок 12).

  A B C D E
  -2 =exp(A1)-3*A1^2+3 =exp(A1)-6*A1 =exp(A1)-6 =B1*D1
    =exp(A2)-3*A2^2+3 =exp(A2)-6*A2 =exp(A2)-6 =B2*D2
  Метод Ньютона
  =A1-B1/D1        
  =A4-(exp(A4)-3*A4^2+3/exp(A4)-6*A1) =если(abs(A5-A4)<0;A5;0)      
  Копировать строку 5 в строку 6 и т.д. до получения значения корня в столбце «В», либо прекратить итерации при достижении предельного числа N=10

Рис. 12

Приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений разделяются на две группы: точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы, и приближенные (итерационные) методы. Рассмотрим метод итерации и метод Зейделя.

Для решения систем линейных уравнений итерационными методами необходимо, чтобы исходная система уравнений отвечала определенным условиям, иначе она должна быть приведена к специальному виду.

Исследование сходимости итерационных методов требует знаний из алгебры матриц.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: