Вырожденные матрицы, плохо обусловленные системы уравнений

Если матрица А вырожденна, т. е. DetA=0, то

1. Система уравнений не совместна, т. е. не имеет ни одного решения.(рис.13)

Пример. 4x+6y=10

2x+3y=6

y

2

3 x

Рис 13

2. Система имеет бесконечное множество решений.(рис.14)

4x+6y=12;

2x+3y=6.

y

f₂ f₁

3 x

Рис. 14

3. Если определитель системы близок к нулю, т. е. c точки зрения практических вычислений могут существовать почти вырожденные системы, при решении которых получаются недостоверные значения неизвестных.

Пример.

5x+7y=12; (2.2)

7x+10y=17.

Det=50-49=1.

Решение системы x=1, y=1, но в то же время при x=2.45, y=0 получим:

5x+7y=12.075

7x+10y=16.905

т. е. c геометрической точки зрения две прямые близки друг к другу. Итерационный метод, в результате, может дать недостоверный результат.(рис.15)

y

1

1 2.45 x

Рис. 15

Система (2.1) называется плохо обусловленной системой, если определитель системы det<1.