П.2. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной под знаком неопределенного интеграла

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

= +3 = .

Ответ: = .

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (метод подстановки), который в некоторых случаях позволяет свести заданный интеграл к табличному интегралу.

Замена переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляется по формулам:

или

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой (2) и таблицей интегралов:

Ответ: .

Этот интеграл можно взять, используя подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции (не прописывая замену переменной)

= = .

Наиболее часто прием подведения под знак дифференциала используется при линейной замене переменной интегрирования:

, (3)

так как .

Пример 3. Найти .

Решение. Согласно формуле (3) можно записать:

.

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: = .