Зоны Бриллюэна

Итак, при изменении волнового вектора k от 0 до ± π / а энергия электрона растет непрерывно и претерпевает разрыв при k =± π / а. Далее, при изменении k от ± π / а до ±2 π / а энергия снова растет непрерывно и т.д. (см. рис. 4.2, б). Области значений k, в пределах которых энергия электрона непрерывна, называются соответственно первой, второй и т. д. зонами Бриллюэна.

На рис. 4.3 показаны зоны Бриллюэна для линейной (а), двумерной квадратной (б) и простой кубической (в) моделей кристалла. Заметим, что линейные размеры всех зон Бриллюэна одинаковы и равны 2 π / а.

б) в)

Рис. 4.3. Зоны Бриллюэна: а – одномерная цепочка; б – двумерная квадратичная решетка; в – трехмерная кубическая решетка

На рис. 4.2, б приведен график Е (k) для волнового вектора, меняющегося в пределах -∞, ∞. Периодичность системы позволяет описать энергию электрона с помощью волновых векторов, лежащих лишь в пределах первой зоны (- π / а; π / а). Это возможно, поскольку уравнению Шредингера (4.1) удовлетворяет не только решение, где k = k ₁, но и функции, где k = k ₁+ nπ / а, т.е. не только для первой, но и для любой зоны Бриллюэна. Операция построения всех энергетических зон в пределах первой зоны называется приведением зон к первой, а сами зоны называют приведенными. По результатам операции можно сделать вывод о том, что у всех четных зон в центре располагаются максимумы, а на границах минимумы энергии; у всех нечетных зон в центре – минимумы, а по краям – максимумы энергии.

Аналогичным образом строятся приведенные зоны для трехмерных кристаллов. Но поскольку в кристаллах зачастую периодичность решетки в разных направлениях различна, то значения волнового вектора, при которых наступают разрывы функции Е (k) также различны. Эти значения в общем случае ± π / а, ± π / b, ± π / c где a, b, c – периоды решетки в различных направлениях. Вследствие этого область энергий, запрещенная для одного направления, может перекрываться разрешенными для других направлений областями. Так может возникнуть непрерывный в целом энергетический спектр электрона. Только в том случае, когда области запрещенных энергий для разных направлений накладываются друг на друга, в кристалле будут существовать абсолютно запрещенные зоны и его энергетический спектр сохранит зонный характер.

Вышесказанное приводит к тому, что у большинства кристаллов дисперсионные кривые Е (k) имеют более сложный характер, чем показанные на рис. 4.2, б. В качестве примера на рис. 4.4 представлены дисперсионные кривые, ограничивающие зону проводимости и валентную зону для наиболее применимых кристаллов кремния и арсенида галлия.

а) б)

Рис. 4.4. Дисперсионные кривые: а – кремний E_g =1,08 эВ; б – арсенид галлия, E_g =1,35 эВ

На рисунке видно, что максимумы кривых для валентных зон находятся посредине зоны Бриллюэна. Минимум дисперсионной зоны проводимости кремния находится на расстоянии k < π / а в направлении [100] и является единственным. Дисперсионная кривая зоны проводимости арсенида галлия имеет три минимума, абсолютный минимум находится в середине зоны Бриллюэна и определяет ширину запрещенной зоны E_g.

Принято называть абсолютный минимум зоны дном зоны, а абсолютный максимум – потолком зоны.

Далее мы будем пользоваться простой моделью прямоугольных зон за исключением случаев, когда необходимо учитывать наличие экстремумов энергии.

В заключение отметим, что какими бы сложными ни были дисперсионные кривые, всем им присуще одно важное свойство: в области минимума кривой (дно зоны) и ее максимума (потолок зоны) выполняется квадратичная зависимость Е (k), характерная для свободного электрона.