Основы теории Бардина – Купера – Шриффера

После открытия сверхпроводимости было предпринято множество попыток объяснить столь необычные эффекты сверхпроводимости. Среди этих работ многие теории до сих пор сохранили свое значение. Так, в 1935 г. Ф. и Г. Лондоны, используя двухжидкостную модель, получили так называемые уравнения Лондонов, объясняющие многие макроскопические свойства сверхпроводников.

В 1950 г. В.Л. Гинзбург и Л.Д. Ландау построили теорию сверхпроводимости, основанную на квантовой механике. Решением уравнений Гинзбурга – Ландау были объяснены и предсказаны многие свойства сверхпроводников, в том числе идеальный диамагнетизм, квантование магнитного потока и ряд других.

Несмотря на то, что теория Гинзбурга – Ландау, получившая дальнейшее развитие в работах А. А. Абрикосова и Л. П. Горькова, описывала многие свойства сверхпроводников, оно не могла объяснить явления сверхпроводимости на микроскопическом уровне.

Ответы на большинство вопросов дала теория, опубликованная Дж. Бардиным, Л. Купером и Дж. Шриффером в 1957 г. – теория БКШ, раскрывшая микроскопический механизм сверхпроводимости. Исходным пунктом этой теории является представление о притяжении между электронами, находящимися вблизи уровня Ферми. Такое притяжение электронов возможно за счет их обмена фононами кристаллической решетки.

Купер показал, что при наличии между электронами притяжения, даже сколь угодно малого, нормальное состояние многоэлектронной системы становится неустойчивым из-за процесса спаривания. Электроны с противоположными импульсами и антипараллельными спинами объединяются в куперовские пары, обладающие меньшей энергией, чем отдельные нормальные электроны.

Рассмотрим, как осуществляется притяжение между электронами – одноименно заряженными частицами. Кристаллическая решетка состоит из положительных ионов, которые притягивают электроны. Но и электроны притягивают ионы, смещая их от положения равновесия. Это смещение незначительно вследствие огромной разности масс иона и электрона, но оно существует: как говорят, решетка поляризуется. Такое смещение зарядов нарушает однородность поля ионов и может быть интерпретировано как появление положительного заряда. Этот виртуальный заряд притягивает другой электрон, находящийся поблизости. Область поляризации решетки не является неподвижной, она перемещается вместе с электроном, который ее формирует. Если такое притяжение будет преобладать над кулоновским отталкиванием, то электроны образуют пары. Взаимодействие электронов через решетку можно представить как результат испускания фонона одним электроном и поглощения другим (рис. 5.11, а).

p2

а) б)

Рис. 5.11. Образование куперовских пар: а – испускание и поглощение электронами

фонона; б – спектр сверхпроводника

Пусть Т = 0К и фононы решетки в кристалле отсутствуют. Первый электрон с импульсом испускает фонон q, который поглощается вторым электроном . Электроны после взаимодействия изменяют импульсы на и . При этом выполняется закон сохранения импульсов

(5.68)

или, соответственно, для волновых векторов

, (5.69)

где , – волновые векторы электронов до взаимодействия;

, – векторы после взаимодействия.

Фонон q, о котором идет речь – необычный, виртуальный фонон. В отличие от обычного, он не перемещается свободно по решетке, а только от одного электрона к другому. Как мы уже отмечали, при нулевой температуре обычных фононов в решетке нет.

Поскольку куперовская пара содержит электроны с антипараллельными спинами, она имеет нулевой спин и является бозоном. Согласно распределению Бозе – Эйнштейна все пары занимают уровень Е_Ф – Δ (рис. 5.11, б). На рисунке для сравнения показаны энергетические спектры нормальной (левая часть) и сверхпроводящей фаз. Как можно видеть в СП-состоянии энергетический спектр имеет щель шириной, равной энергии связи пары 2Δ. При Т ≈ 0 ширина энергетической щели максимальна и равна

2 Δ (0) = 3,5 kТ_С, (5.70)

где k – постоянная Больцмана.

Существование энергетической щели получило экспериментальное подтверждение, в частности, при исследовании спектра поглощения сверхпроводника в дальней ИК области. При частоте, для которой hν = 2 Δ, начинается интенсивное поглощение излучения. Энергия 2Δ затрачивается на разрыв пары. При повышении температуры также возможны переход электронов через щель и образование над ней неспаренных электронов. Величина щели при этом уменьшается и при Т = Т_С щель исчезает.

Вблизи Т_С энергетическая щель изменяется с изменением температуры, согласно выражению

Δ (Т) = 1,74Δ(0)(1-Т / Т_С)^1/2. (5.71)

Оценим размеры куперовской пары ξ ₀ и их долю n_S в общем числе электронов. Для типичных значений СП: Е_Ф = 10 эВ, к_Ф = 10⁸ см^-1 и Т_С = =10К получаем ξ ≈ 10^-4 см. Это означает, что электроны в паре разнесены на 10³…10⁴ периодов кристаллической решетки.

Концентрацию куперовских пар при Т = 0К можно определить интегрированием выражения (5.70). Она составляет 10^-4 от общей концентрации свободных электронов. При повышении температуры эта концентрация убывает и при Т = Т_С n_S = 0.

Как уже отмечалось, в отличие от отдельных электронов – фермионов, куперовские пары являются бозонами. Для них не существует постулата запрета Паули, т.е. куперовские пары находятся в одном состоянии и соответствуют друг другу по всем физическим параметрам. Волновые функции СП электронов являются когерентными, т.е. их фазы отличаются друг от друга на постоянную величину. Таким образом, куперовские пары (“бозе-конденсат”) представляют собой взаимосвязанный ансамбль.

В электрическом поле куперовские пары будут ускоряться, т.е. получать результирующий импульс из-за взаимосвязи между парами. Этот импульс должен быть абсолютно одинаковым для всех пар. Однако пара не может обмениваться энергией с решеткой, иначе она перейдет в другое энергетическое состояние, что запрещено условиями модели. Образно говоря, ансамбль принимает на себя это взаимодействиие, и, пока оно не велико, полный импульс ансамбля сохраняется, т.е. электрический ток не изменяется. Это означает, что перенос заряда через решетку осуществляется без сопротивления.

Если энергия воздействия становится больше, чем энергия связи (Т > Т_С, j > j_C, В > В_С), тогда связь пары разрушится и она покидает квантовый бозе-конденсат.

Теория БКШ обосновала многие эмпирические соотношения в сверхпроводимости.

Выше мы рассматривали свойства обычных низкотемпературных сверхпроводников (см. табл. 5.1). Здесь необходимо сказать об основных отличиях, которые имеют ВТСП.

1. Высокое значение температуры перехода лежит в области азотных температур (Т > 77К), что не объясняется существующей теорией БКШ.

2. Химические связи ВТСП. В отличие от НТСП, которые обладают металлической (металлы, сплавы) или ковалентной химической связью (полупроводники), ВТСП представляют собой оксиды. Характер связи приводит к тому, что в таких сверхпроводниках концентрация носителей меньше.

3. Нормальное удельное сопротивление (Т > Т_С) ВТСП соединений значительно больше, чем у обычных металлов, и сильно зависит от содержания кислорода.

4. В отличие от обычных НТСП, где температурный переход занимает максимум 1…2К, в ВТСП этот переход более 4К и зависит от способа приготовления образца

5. Длина когерентности Гинзбурга-Ландау в НТСП составляет
10^-6 м. Для ВТСП эта величина гораздо меньше – 0,5 … 30А º. Напомним, что длина когерентности характеризует расстояния, на которых изменяется плотность сверхпроводящих пар. Такое малое значение длины когерентности в ВТСП приводит к необычным явлениям. В частности, двумерные (поверхностные) дефекты в ВТСП могут образовывать джозефсоновские барьеры.

Эти и другие замечания позволяют сделать вывод о том, что процессы в ВТСП подобны традиционным, однако существуют отличия, связанные, в основном, с малой длиной когерентности, большой глубиной проникновения магнитного поля и т.д., которые необходимо учитывать при проектировании приборов ВТСП микроэлектроники. Некоторые возможные приложения эффектов сверхпроводимости в криомикроэлектронике будут рассмотрены ниже (п. 10.2).