Динамика твердого тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое может совершать только вращательное движение вокруг неподвижной оси. Для описания движения удобно использовать зависимость угла поворота от времени. Закон изменения угла поворота от времени и характеризует вращательное движение твердого тела.

В прямоугольной системе координат когда ось z совпадает с осью вращения тела представим тело как систему материальных точек и найдем проекцию на ось вращения вектора момента импульса.

	z

По определению момент импульса системы равен сумме моментов элементарных масс

;

Проекция на ось вращения, аналогично

- момент импульса.

Используя зависимость для каждой элементарной массы

;

И скорости в этой точке

Угловая скорость по определению

w = df / dt

Угловое ускорение

e = d²f / dt² = dw / dt

Записывая векторное произведение в матричной форме с учетом того, что вектор угловой скорости направлен по оси вращения z получим

Проекции вектора момента импульса одной из частей тела можно найти по формуле

;

Проекция этого вектора на ось вращения будет

;

Или

L = mwr²;

где ,

L_z = m R²w

L_iz = m_i R²_i w

L = S L_iz = ∑m_i R²_i w = Iw

I – момент инерции (относительно оси Z)

а

;

I – момент инерции

Интегральна формула для центра инерции

Выражение для момента импульса можно записать в форме

L = Iw;

Момент силы для точки

;

Известно

dL / dt = S M_i

dw/dt = e

; - основное уравнение вращательного движения твердого тела

Для производной момента импульса справедливо выражение

L^/ = M;

Для проекции на ось вращения

L_z^/ = M_z

Основное уравнение вращательного движения можно записать

If^// = M_z

(для вращательного движения)

Аналогия с законом Ньютона

mx^// = F

(закон Ньютона)

Эквивалент инерционных свойств при вращении обеспечивает момент инерции.

Запишем выражение для кинетической энергии вращательного движения при вращении тела вокруг оси, проходящей через центр масс

=mv²/2 = m(ωr)²/2 =mr²ω²/2 =I ω²/2

Кинетическая энергия движущегося и вращающегося относительно центра масс тела равна сумме кинетических энергий движения и вращения

;

Работа тела при вращении определяется по формуле

A = Mj = Fl = Frj =Mj