Теорема Штейнера

В случае когда ось, относительно которой вычисляется момент инерции не совпадает с центром симметрии для облегчения расчетов используют теорему Штейнера.

Теорема Штейнера или теорема о параллельных осях. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произвеление массы тела на квадрат расстояния между осями

I = I_c + mr_c² – теорема Штейнера.

Построим ось z', которая проходит через центр масс тела С параллельно оси z, и введем перпендикулярный к этим осям вектор r_c, соединяющий точку вращения и центр масс. Модуль этого вектора –расстояние между осями.

R_i^/ -вектор, соединяющий цент масс с частицей, для которой вычисляется момент инерции.

z z'

R_i R_i'

О С

r_c

связь между векторами

R_i = R_i^/ + r_c

по определению центра масс тела имеем

S m_iR_i = mr_c

Или подставляя уравнение связи векторов

S m_i (R_i^/ + r_c) = mr_c

Преобразование дает

S m_iR_i^/ + S m_ir_c = mr_c

Или учитыва сумму элементарных масс тела

S m_iR_i^/ + mr_c = mr_c

Откуда следует

S m_iR_i^/ = 0

Момент инерции относительно выбранной оси

I = S m_iR_i² = S m_i (R_i^/ + r_c)² = S m_iR_i^{/ 2} + 2 S m_iR_i^/ r_c + S m_ir_c² = I_c + mr_c²

I = I_c + mr_c² – теорема Штейнера.