Сохранение импульса

Рассмотрим замкнутую систему частиц. Замкнутость означает, что воздействие внешних сил на частицы системы пренебрежимо мало. В силу однородности пространства перемещение всех частиц системы на одинаковый отрезок δr не должно изменить механические свойства системы – функция Лагранжа должна сохранить своё прежнее значение. Для незамкнутой системы такой перенос вызвал бы изменение расположения частиц по отношению к взаимодействующим с ними телам, что отразилось бы на механических свойствах системы. Т. о. только для замкнутой системы частиц можно утверждать, что параллельный перенос системы как целого не сопровождается изменением функции L(δL=0).

Полагая перемещение δr очень малым, можно написать

δL= (9.1)

α – номер частицы

Мы воспользовались тем обстоятельством, что перемещения частиц одинаковы и равны δr.

По предположению δr≠0, поэтому из 9.1 вытекает, что

(9.2)

В соответствии с уравнениями Лагранжа можно написать

=

=

=

Умножив первое из этих уравнений на орт , второе на орт , третье на орт и сложив их вместе получим соотношение

(9.3)

Таким образом, уравнению 9.2 можно придать вид

(9.4)

Величина есть вектор с компонентами

, , .

Согласно 4.17 эти произведения суть проекции на координатные оси обычного импульса р частицы с номером α. Следовательно

(9.5)

С учётом этого обстоятельства уравнение 9.4 запишется следующим образом .

Отсюда вытекает, что

р = = const.

Где р – суммарный импульс системы.

Итак исходя из однородности пространства мы пришли к закону: суммарный импульс замкнутой системы частиц остаётся постоянным. Следовательно, импульс замкнутой системы есть так же интеграл движения.