Математическое моделирование. Математическая модель включает в себя следующие три группы элементов

Математическая модель включает в себя следующие три группы элементов:

1) внутренние параметры объекта - вектор состояния:

X = (xK | k = 1. 2. …, N),

2) характеристики внешних (по отношению к объекту) изменяемых условий - внешних воздействий:

U = (ui | i = 1, 2, …, I),

3) выходные характеристики объекта, которые нужно определить:

Y = (yr| r = 1, 2, …, R).

В общем случае математическую модель можно интерпретировать как преобразователь входных параметров в выходные:

Y = G(U) (1)

где G - закон преобразования (функция или набор функций), определить который требуется при построении модели.

Иначе говоря, модель есть математическая запись, позволяющая определить реакции моделируемого объекта на входные воздействия. Можно предположить, что реакция объекта на те или иные воздействия будет зависеть от того в каком состоянии он сам находится (например, реакция исправного автомобиля на входное воздействие вида «повернуть руль» может существенно отличаться от реакции на это же воздействие автомобиля в неисправном состоянии). Поэтому более общей будет следующая запись модели:

Y = G(U, X), (2)

где выход объекта Y зависит как от вектора U, так и от внутреннего состояния системы -вектора X.

В более сложном случае входные воздействия меняются во времени, т.е. U есть функция от параметра времени t, и реакция самой системы также может зависеть от времени. Тогда вместо (2) можно записать более общее выражение для математической модели:

Y(t) = G(U(t), X), (3)

Компонентами вектора состояния могут выступать как константы (в этом случае можно говорить, что объект находится в одном состояние на протяжении всего промежутка времени), так и переменные. Во втором случае можно предположить, что состояние объекта меняется во времени под действием каких то внешних возмущений, т.е.

X(t) = F(U(t)).

Учитывая всю предысторию, можно записать, что текущее состояние зависит от того состояния X(t0), в котором объект находился в начальный момент времени t0 и от той совокупности воздействий U (t0, t), которые наблюдались на интервале от t0 до t:

X(t)=0),U(t0,t)]. (4)

Учитывая сказанное, вместо (3) можно использовать следующие общие выражения:

Y(t) = G(U(t)). (5)

- для случая, когда состояние объекта единственно и не меняется во времени;

Y(t) = G(U(t), X(t)), X(t) = F(U(t)) (6)

или, полагая справедливым (4),

Y(t) = G [X(tQ), U (tQ, t)] (7)

- для случая, когда состояние объекта меняется во времени под действием внешних воздействий.